很多的实际应用里面,往往 X 的分布是已知的,实际问题对应的变量是 X 的函数,那么,我们应该如何求 Y 的分布呢?这篇 将会带给你答案!我们开始吧!
一、一维离散型随机变量函数的分布
我们对于一维离散型随机变量,都是以概率分布表的形式来说明分布的。那么,这样一来问题就变得简单了:只要已知 Y 的函数(例如 : ,我们就分别把 X 概率分布表里面的 X 的取值依次带入 ,得到对应的 Y 值,然后直接把概率对应地抄写过来即可!)
但是,要特别说明一点:如果计算出来的 Y 有重复的,(例如: ,当 X = 1, -1 时,计算出来的 Y 是一样的,这时,我们需要把 两个取值相同的 Y 的概率加起来)
X | -1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|
P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
求
的分布:
【步骤一】
Y | 1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|
P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
【步骤二】:看 Y 有没有一样的需要合并
Y | 0 | 1 |
---|---|---|
P | 0.5 | 0.5 |
二、一维连续型随机变量函数的分布
已知 X 的分布函数,计算 Y 的概率密度函数。有一个统一套路:
【1】写 Y 分布函数的表达式:
【2】根据 Y 对于 X 的函数把 Y = 、、、带入 Y ≤ x,解出:X ≤ m
【3】那么,就可以得到:
【4】两边求导,注意:
对 x 的求导是复合函数求导。得到
不过要特别注意 x 的取值范围。
我们看一个需要分情况的例题:
已知:
~
,
,求 Y 的概率密度函数。