樱花----------------------------------------数论(唯一分解)

给定一个整数 n，求有多少正整数数对 (x,y) 满足 1x+1y=1n!。

输入格式
一个整数 n。

输出格式
一个整数，表示满足条件的数对数量。

答案对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：
2
输出样例：
3
样例解释
共有三个数对 (x,y) 满足条件，分别是 (3,6),(4,4),(6,3)。

解析:

1/x+1/y=1/n!
=>
(y+x)/(xy)=1/n!
n!x+n!y=xy
n!x=xy-n!y
n!x=y(x-n!)
y=(n!x)/(x-n!)
y=(x-n!+n!)*n!/(x-n!)
y=n!+n!^2/(x-n!)

由上式公式  只有x我们不知道
但其实我们只要求n!^2的约数个数

约数个数想到了唯一分解。把n!分解成 p1^a1*p1^a2.....*pn^an
因为现在求n!^2 就相当于求p1^2a1*p2^2a2......pn^2an
那么n!约数个数公式是(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)....(an+1)
现在n!^2哥约数个数就是(2*a1+1)*(2*a2+1)*(2*a3+1).......(2*an+1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1e6+1000;
ll prime[N],n;
bool st[N];
int cnt;
void init(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!st[i]) prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]<=n/i;j++)
		{
			st[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	init(n);	ll res=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		ll p=prime[i];
		ll s=0;
	
		for(int j=n;j;j/=p) s+=j/p;
		res=(res*(2*s+1))%MOD;
	}
	cout<<res<<endl;
}