机器学习教程 之 EM算法 ：高斯混合模型聚类算法 (python基于《统计学习方法》实现，附数据集和代码)

之前写过一篇博客讲述极大似然方法， 这一方法通常适用于知道观测数据 $Y$，求解模型参数 $\theta$的场合，即 $P(Y|\theta)$。
但是，在更多场合除了模型参数是未知的外，还有隐变量 $Z$也是未知的，即 $P(Y,Z|\theta)$。多个隐藏模型的混合，会使得普通的极大似然方法用起来不是那么方便，比如求解高斯混合模型(GMM), 隐马尔可夫模型(HMM),等。这种时候，就会发觉EM算法是机器学习领域中绕不过去的一道坎。

这里，主要基于《统计学习方法》里对于高斯混合模型的讲解，实现EM算法,并给出代码和注释。
在实现模型之前，观察过其他人写的代码，包括sklearn内部的代码，相比较而言，这次的实现封装的更好，使用会更方便，结果也不错。

先描述一下实现的原理，再说代码

一、EM算法解高斯混合模型

假设观测数据 $y_{1},y_{2},...,y_{N}$由3高斯混合模型生成，即
$P(y|\theta)=\sum_{k=1}^{K}a_{k}\phi(y|\theta_{k})$
其中 $\theta=(a_{1},a_{2},...,a_{k};\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k})$, 我们用EM算法估计高斯混合模型的参数 $\theta$

1.0 EM算法：初始化模型参数

1.1 EM算法的E步：确定Q函数

混合高斯模型的Q函数为：
$Q(\theta,\theta^{i})=\sum_{k=1}^{K}\{\sum_{j=1}^{N}(E_{\gamma_{jk}})loga_{k}+\sum_{j=1}^{N}(E_{\gamma_{jk}})[log(1/\sqrt{2\pi})-log(\sigma_{k})-(1/2\sigma_{k}^{2})(y_{j}-u_{k})^{2}]$
这里需要计算 $E(\gamma_{jk}|y,\theta)$,记为 $\hat{\gamma}_{jk}$
$\hat{\gamma}_{jk}=\frac{a_{k}\phi(y_{j}|\theta_{k})}{\sum_{k=1}^{K}a_{k}\phi(y_{j}|\theta_{k})},j=1,2,...,N;k=1,2,...,K$ $\hat{\gamma}_{jk}$是当前模型参数下第 $j$个观测数据来自第 $k$个分模型的概率，称为分模型 $k$对观测数据 $y_{j}$的影响度

1.2EM算法的M步：更新模型参数

M步极大化Q函数，更新模型参数如下：
$\hat{u}_{k}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}y_{j}}{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}},k=1,2...,K$ $\hat{\sigma}_{k}^{2}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}(y_{j}-u_{k})^{2}}{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}},k=1,2...,K$ $\hat{a}_{k}=\frac{\sum_{j=1}^{N}\hat{\gamma}_{jk}}{N},k=1,2...,K$
重复E步和M步直到模型收敛

二、EM算法求解高斯混合模型

from sklearn.datasets import load_digits, load_iris
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn import preprocessing
from sklearn.metrics import accuracy_score
import numpy as np

class GMM_EM():
    def __init__(self,n_components,max_iter = 1000,error = 1e-6):
        self.n_components = n_components  #混合模型由几个gauss模型组成
        self.max_iter = max_iter  #最大迭代次数
        self.error = error  #收敛误差
        self.samples = 0
        self.features = 0
        self.alpha = []   #存储模型权重
        self.mu = []   #存储均值
        self.sigma = []   #存储标准差
    
    def _init(self,data):   #初始化参数
        np.random.seed(7)
        self.mu = np.array(np.random.rand(self.n_components, self.features))
        self.sigma = np.array([np.eye(self.features)/self.features] * self.n_components)
        self.alpha = np.array([1.0 / self.n_components] * self.n_components)
        print(self.alpha.shape,self.mu.shape,self.sigma.shape)
            
    def gauss(self, Y, mu, sigma):  #根据模型参数和数据输出概率向量
        return multivariate_normal(mean=mu,cov=sigma+1e-7*np.eye(self.features)).pdf(Y)
    
    def preprocess(self,data):   # 数据预处理
        self.samples = data.shape[0]
        self.features = data.shape[1]
        pre = preprocessing.MinMaxScaler()
        return pre.fit_transform(data)
    
    def fit_predict(self,data):   #拟合数据
        data = self.preprocess(data)
        self._init(data)
        
        weighted_probs = np.zeros((self.samples,self.n_components))
        for i in range(self.max_iter):
            prev_weighted_probs = weighted_probs
            
            weighted_probs = self._e_step(data)
            change = np.linalg.norm(weighted_probs - prev_weighted_probs) 
            if change < self.error:
                break
            
            self._m_step(data,weighted_probs)
        
        return weighted_probs.argmax(axis = 1)
    
    def _e_step(self,data):   # E步
        probs = np.zeros((self.samples,self.n_components))
        for i in range(self.n_components):
            probs[:,i] = self.gauss(data, self.mu[i,:], self.sigma[i,:,:])
        
        weighted_probs = np.zeros(probs.shape)
        for i in range(self.n_components):
            weighted_probs[:,i] = self.alpha[i]*probs[:,i]
            
        for i in range(self.samples):
            weighted_probs[i,:] /= np.sum(weighted_probs[i,:])
        
        return weighted_probs
            
    def _m_step(self,data,weighted_probs):  #M步
        for i in range(self.n_components):
            sum_probs_i = np.sum(weighted_probs[:,i])
            
            self.mu[i,:] = np.sum(np.multiply(data, np.mat(weighted_probs[:, i]).T), axis=0) / sum_probs_i
            self.sigma[i,:,:] = (data - self.mu[i,:]).T * np.multiply((data - self.mu[i,:]), np.mat(weighted_probs[:, i]).T) / sum_probs_i
            self.alpha[i] = sum_probs_i/data.shape[0]
    
    def predict_prob(self,data):  #预测概率矩阵
        return self._e_step(data)
    
    def predict(self,data):  #输出类别
        return self._e_step(data).argmax(axis = 1)
        
            
dataset = load_iris()
data = dataset['data']
label = dataset['target']

gmm = GMM_EM(3)
pre_label = gmm.fit_predict(data)
print(accuracy_score(pre_label,label))
# EM算法是对初始值敏感的，修改初始化的值会发现模型性能变化很大