PCA（Principal Components Analysis）是一个简单的机器学习算法，用于对矩阵的有损压缩。即缩小矩阵列向量的维度，并尽量减少精度的损失，以减小存储空间。当然，现在的硬盘已经足够大，根本不需要这样的有损压缩来减小存储容量了。它主要用于训练数据的降维、数据中噪点的去除等。因此是一个很有用的算法。下面把压缩称作编码，解压缩称作解码。
首先定义矩阵$X\in R^{n\times m}$为原矩阵，由$m$个$n$维列向量$\{x_1,x_2,...,x_m\}$组成。PCA将把$X$编码成矩阵$C\in R^{l\times m},l<n$。然后定义解码操作，编码操作基于解码。解码操作为$C$左乘一个解码矩阵$D\in R^{n\times l}$：
$X^* = DC$
因为解码编码操作只需按比例增大减小，结果就不会变，并且为了使编码简单，限制$D$的列向量为单位向量，且相互正交（因$l<n$所以所有列向量都能相互正交）。然后通过最小化每个列向量的精度损失，得到编码的定义：
$\begin{aligned}&c^*=\text{arg}\min\limits_c||x-Dc||_2^2\\&c^*=\text{arg}\min\limits_c(x-Dc)^T(x-Dc)\\&c^*=\text{arg}\min\limits_c(x^Tx-2x^TDc+c^TD^TDc)\\&c^*=\text{arg}\min\limits_c(-2x^TDc+c^TD^TDc)\\\end{aligned}$
求导为0得：
$c^*=D^Tx$
于是重构后的$x$为：
$\hat{x} = DD^Tx$
获得编码解码的定义后，怎样才能让整个矩阵的精度损失最小呢？容易想到，直接让前后矩阵之差的Frobenius范数最小即可：
$\begin{aligned}&D=\text{arg}\min\limits_D||X-DD^TX||_F^2\\&D=\text{arg}\min\limits_D\text{Tr}\left[(X-DD^TX)^T(X-DD^TX)\right]\\&D=\text{arg}\min\limits_D\text{Tr}\left[X^TX-X^TDD^TX-X^TDD^TX+X^TDD^TDD^TX\right]\\&D=\text{arg}\min\limits_D\text{Tr}\left[-2X^TDD^TX+X^TDD^TX\right]\\&D=\text{arg}\max\limits_D\text{Tr}\left[X^TDD^TX\right]\\\end{aligned}$
因为$X^TD$与$D^TX$互为转置，而$\text{Tr}(A^TA)=\text{Tr}(AA^T)$，所以
$D=\text{arg}\max\limits_D\text{Tr}\left[D^TXX^TD\right]$
显然，$D$的列向量取$XX^T$的前$l$最大特征值对应的特征向量即可。