给定一个非负整数数组和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和/积的最大值最小。
注意:
数组长度 n 满足以下条件:
- 1 ≤ n ≤ 1000
- 1 ≤ m ≤ min(50, n)
测试用例
输入:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2
输出:
18
解释:
一共有四种方法将nums分割为2个子数组。
其中最好的方式是将其分为[7,2,5] 和 [10,8]，
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。
解题思路
动态规划
「将数组分割为 m 段，求……」是动态规划题目常见的问法。
令 f[i][j] 表示将数组的前 i 个数分割为j段所能得到的最大连续子数组和的最小值。
在进行状态转移时，我们可以考虑第j段的具体范围，即我们可以枚举 k，其中前 k 个数被分割为 j − 1 段，而第 k+1 到第 i 个数为第 j 段。
此时，这 j 段子数组中和的最大值，就等于 f[k][j−1] 与 sub(k+1, i) 中的较大值，其中 sub(i, j) 表示数组 nums 中下标落在区间 [i,j] 内的数的和。
由于我们要使得子数组中和的最大值最小，因此可以列出如下的状态转移方程：
对于状态 f[i][j]，由于我们不能分出空的子数组，因此合法的状态必须有 i ≥ j。对于不合法（i < j）的状态，由于我们的目标是求出最小值，因此可以将这些状态全部初始化为一个很大的数。在上述的状态转移方程中，一旦我们尝试从不合法的状态 f[k][j−1] 进行转移，那么max(⋯) 将会是一个很大的数，就不会对最外层的 min{⋯} 产生任何影响。
此外，我们还需要将 f[0][0] 的值初始化为 0。在上述的状态转移方程中，当 j = 1 时，唯一的可能性就是前 i 个数被分成了一段。如果枚举的 k = 0，那么就代表着这种情况；如果 k != 0，对应的状态 f[k][0] 是一个不合法的状态，无法进行转移。因此我们需要令 f[0][0] = 0。
最终的答案即为 f[n][m]。
Code
class Solution {
public int splitArray(int[] nums, int m) {
//动态规划
int n = nums.length;
int f[][] =new int[n + 1][m + 1];
//f[i][j] 前i个数分割j段
// 求最大值最小，初始化f[][]数组为MAX_VALUE
for( int i = 0; i <= n; i++){
//填充数组
Arrays.fill(f[i], Integer.MAX_VALUE);
}
// sub[i]表示数组前i个数的和
int[] sub = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
sub[i + 1] = sub[i] + nums[i];
}
f[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {
for(int k = 0; k < i; k++) {
//状态转移方程
f[i][j] = Math.min(f[i][j], Math.max(f[k][j - 1], sub[i] - sub[k]));
}
}
}
return f[n][m];
}
}