使用牛顿法迭代求平方根与立方根

平方根：求 a 的平方根 \(x=\sqrt{a}\)，相当于求 \(f(x)=x^2-a=0\) 的根。

立方根：求 a 的立方根 \(x=\sqrt[3]{a}\)，相当于求 \(f(x)=x^3-a=0\) 的根。

迭代步骤：（实际上就是不停地作切线，直到切点和所求的根非常接近）

1. 先选取一个迭代的初始值\(x_0\)
2. 可以求出\(f(x)\)在\(x_0\)处的切线方程：\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
3. 该切线与x轴的交点为：\(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)
4. 令\(x_0=x_1\)，继续上述迭代过程，直到\(\lvert x_0-x_1\rvert\)小于阈值。

• 当\(f(x)=x^2-a\)时，\(x_1=x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0}=\frac{x_0}{2}+\frac{a}{2x_0}\)
• 当\(f(x)=x^3-a\)时，\(x_1=x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0}=\frac{2x_0}{3}+\frac{a}{3x_0^2}\)

根据以上步骤，取阈值\(10^{-5}\)作为迭代终止条件，Java 代码如下：

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        double x = 100;
        System.out.println("平方根测试：");
        System.out.println(new Solution().mySqrt(x));
        System.out.println(Math.sqrt(x));
        System.out.println("立方根测试：");
        System.out.println(new Solution().mySqrt3(x));
        System.out.println(Math.pow(x, 1.0 / 3));
    }
}

class Solution {
    // 平方根
    public double mySqrt(double x) {
        if (x == 0 || x == 1) return x;
        double x_0 = 1.0, x_1 = x;
        do {
            x_0 = x_1;
            x_1 = (x_0 + x / x_0) / 2;
        } while (Math.abs(x_0 - x_1) > 1e-5);
        return x_1;
    }

    // 立方根
    public double mySqrt3(double x) {
        if (x == 0 || x == 1) return x;
        double x_0 = 1.0, x_1 = x;
        do {
            x_0 = x_1;
            x_1 = (2 * x_0 + x / x_0 / x_0) / 3;
        } while (Math.abs(x_0 - x_1) > 1e-5);
        return x_1;
    }
}