传递函数尾1法和首1法及具体举例+H(s)与H(z)在书中出现的目的

传递函数的标准形式:

微分方程一般形式:

a n c ( n ) + a n 1 c ( n 1 ) + + a 1 c + a 0 c = b m r ( m ) + b m 1 r ( m 1 ) + + b 1 r + b 0 r ( t ) a_{n} c^{(n)}+a_{n-1} c^{(n-1)}+\ldots+a_{1} c^{\prime}+a_{0} c=b_{m} r^{(m)}+b_{m-1} r^{(m-1)}+\ldots+b_{1} r^{\prime}+b_{0} r(t)

拉式变换:
C ( s ) R ( s ) = b m s m + b m 1 s m 1 + + b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 = G ( s ) \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}}{a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}}=G(s)

根轨迹增益:
G ( s ) = K j = 1 m ( s z j ) i = 1 n ( s p i ) G(s)=\frac{K^{*} \prod_{j=1}^{m}\left(s-z_{j}\right)}{\prod_{i=1}^{n}\left(s-p_{i}\right)}

尾1标准型:
G ( s ) = K k = 1 m 1 ( τ k s + 1 ) l = 1 m 2 ( τ l 2 s 2 + 2 ξ τ l s + 1 ) s i = 1 n ( T i s + 1 ) j = 1 n 2 ( T j 2 s 2 + 2 ξ T j s + 1 ) G(s)=K \frac{\prod_{k=1}^{m_{1}}\left(\tau_{k} s+1\right) \prod_{l=1}^{m_{2}}\left(\tau_{l}^{2} s^{2}+2 \xi \tau_{l} s+1\right)}{s \prod_{i=1}^{n}\left(T_{i} s+1\right) \prod_{j=1}^{n_{2}}\left(T_{j}^{2} s^{2}+2 \xi T_{j} s+1\right)}


例:已知
G ( s ) = 4 s 4 s 3 + 3 s 2 + 2 s G(s)=\frac{4 s-4}{s^{3}+3 s^{2}+2 s}

将其化为首1,尾1标准型,并确定其增益

用途 使用 整理类型 根轨迹增益
开环增益 尾1 G ( s ) = 2 ( s 1 ) s ( 1 2 s + 1 ) ( s + 1 ) G(s)=2 \cdot \frac{(s-1)}{s\left(\frac{1}{2} s+1\right)(s+1)} K = 2 K=2
根轨迹 首1 G ( s ) = 4 ( s 1 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s)=\frac{4(s-1)}{s(s+1)(s+2)} K = 4 K^*=4
作者 书籍 传递函数符号 处理对象
郑君里 《信号与系统》上册 H(s) 模拟信号
郑君里 《信号与系统》下册 H(z) 数字信号
胡寿松 《自动控制原理》 H(s) 模拟信号
王艳芬 《数字信号处理原理及实现》 H(z) 数字信号

Reference:
[1]自动控制原理_第二章

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