传递函数尾1法和首1法及具体举例+H(s)与H(z)在书中出现的目的

传递函数的标准形式:

微分方程一般形式:

$a_{n} c^{(n)}+a_{n-1} c^{(n-1)}+\ldots+a_{1} c^{\prime}+a_{0} c=b_{m} r^{(m)}+b_{m-1} r^{(m-1)}+\ldots+b_{1} r^{\prime}+b_{0} r(t)$

拉式变换:
$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}}{a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}}=G(s)$

根轨迹增益:
$G(s)=\frac{K^{*} \prod_{j=1}^{m}\left(s-z_{j}\right)}{\prod_{i=1}^{n}\left(s-p_{i}\right)}$

尾1标准型:
$G(s)=K \frac{\prod_{k=1}^{m_{1}}\left(\tau_{k} s+1\right) \prod_{l=1}^{m_{2}}\left(\tau_{l}^{2} s^{2}+2 \xi \tau_{l} s+1\right)}{s \prod_{i=1}^{n}\left(T_{i} s+1\right) \prod_{j=1}^{n_{2}}\left(T_{j}^{2} s^{2}+2 \xi T_{j} s+1\right)}$

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例:已知
$G(s)=\frac{4 s-4}{s^{3}+3 s^{2}+2 s}$

将其化为首1，尾1标准型,并确定其增益

用途	使用	整理类型	根轨迹增益
开环增益	尾1	$G(s)=2 \cdot \frac{(s-1)}{s\left(\frac{1}{2} s+1\right)(s+1)}$	$K=2$
根轨迹	首1	$G(s)=\frac{4(s-1)}{s(s+1)(s+2)}$	$K^*=4$

作者	书籍	传递函数符号	处理对象
郑君里	《信号与系统》上册	H(s)	模拟信号
郑君里	《信号与系统》下册	H(z)	数字信号
胡寿松	《自动控制原理》	H(s)	模拟信号
王艳芬	《数字信号处理原理及实现》	H(z)	数字信号

Reference:
[1]自动控制原理_第二章