欧拉函数的性质及其证明

欧拉函数

• $p$是素数，则有 $\phi(p) = p - 1$

  证明：显然。

• $p$是素数， $n = p ^ k$，则 $\phi(n) = p ^ k - p ^ {k - 1}$

  证明：

  $[1, n]$内， $p$的约数有 $p, 2p, 3p, 4p……(p^{k - 1} - 1)p$个，所以 $\phi(n) = p^k - 1 - (p ^ {k - 1} - 1) = p ^ k - p ^ {k - 1}$

• $p, q$是素数， $\phi(pq) = \phi(p) * \phi(q)$

  证明：

  $pq - 1$内是 $p$的倍数的有 $q - 1$个，是 $q$的倍数的有 $p - 1$个， $\phi(pq) = pq - 1 - (q - 1) - (p - 1) = pq - p - q - 1 = (p - 1)(q - 1) = \phi(p)\phi(q)$

  拓展 $p, q$互质即可满足条件。

• $a \% p == 0, p是质数$，则 $\phi(ap) = \phi(a)p$

  证明：

  一定有 $a = kp^n$， $k, p$互质，

  $\therefore \phi(a) = \phi(k)\phi(p^n)$

  $\therefore\phi(k) = \frac{\phi(a)}{\phi(a^n)}$

  $\because ap = k p ^{n + 1}$

  $\therefore\phi(ap) = \phi(k)\phi(p ^{n + 1})$

  $\therefore\phi(ap) = \phi(a) \frac{\phi(p ^{n + 1})}{\phi(p ^n)}$

  $\because \phi(p ^{n + 1}) = p ^{n + 1} - p ^ n, \phi(p ^n) = p ^ n - p ^{n - 1}$

  $\therefore\phi(ap) = \phi(a) \frac{\phi(p ^ {n + 1})}{\phi(p ^ n)} = \phi(a) \frac{p ^ {n + 1} - p ^ n}{p ^n - p ^ {n - 1}}$

  $\therefore \phi(ap) = \phi(a)p$

• $n = p_1 ^ {a_1}p_2 ^ {a_2}……p_n ^{a_n}$则， $\phi(n) = n(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})……\frac{1}{p_n}$

  证明：

  $\because\phi(n) = \phi(p_1^{a_1})\phi(p_2^{a_2})……\phi(p_n^{a_n})$

  $\therefore\phi(n) = (p_1^{a_1} - p_1^{a_1 - 1})(p_2^{a_2} - p_2 ^{a_2 - 1})……(p_n ^{a_n} - p_n^{a_n - 1})$

  每个括号里提出一个 $p_i ^{a_i}$得 $\phi(n) = p_1 ^ {a_1}p_2 ^ {a_2}……p_n ^{a_n}(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})……\frac{1}{p_n}$

  即证得： $\phi(n) = n(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})……\frac{1}{p_n}$

• 关于欧拉函数得递推求法

  显然可以在欧拉素数筛的同时得到欧拉函数值

  $prime[j] \mid i$时，有 $\phi(i * prime[j]) = \phi(i) * prime[j]$

  其次就是两个互质的情况了

  $\phi(i * prime[j]) = \phi(i) * (prime[j] - 1)$

  再最后就是 $i$为质数的情况了， $\phi(i) = i - 1$

• $n$的所有约数的欧拉函数之和等于 $n$

  证明：

• 对于给定 $n$， $\sum_{i = 1}^{n - 1}i(gcd(i, n) == 1) = \frac{n\phi{n}}{2}$

  证明：

  显然 $gcd(i, n) = 1$，则有 $gcd(n - i, n) = 1$，所以互质数两两存在则有上面式子 $\sum_{i = 1}^{n - 1}i(gcd(i, n) == 1) = \frac{n\phi{n}}{2}$成立。

• $d = gcd(a, b)$， $\phi(ab) = \frac{\phi(a)\phi(b)d}{\phi(d)}$

  证明：