【数字信号处理】【傅里叶分析】【FFT】快速傅里叶变换的完整公式推导

给出离散傅里叶变换DFT的公式：
$\begin{aligned} DFT[x(n)]=X(m)&=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)exp(-j\frac{2\pi mn}{N}),m\in[0,N-1]\\ &=x(0)exp(-j\frac{2\pi m0}{N})+x(1)exp(-j\frac{2\pi m1}{N})+x(2)exp(-j\frac{2\pi m2}{N})+x(3)exp(-j\frac{2\pi m3}{N})+... \end{aligned}$

FFT将DFT公式分成奇和偶两部分，即，将含 $x(0),x(2),...$的项取出，作为偶数项，将含 $x(1),x(3),...$的项取出，作为奇数项，有
$\begin{aligned} X(m)&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)exp(-j\frac{2\pi m2n}{N})+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)exp(-j\frac{2\pi m(2n+1)}{N}),m\in[0,N-1]\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)exp(-j\frac{2\pi mn}{\frac{N}{2}})+\exp(-j\frac{2\pi m}{N})\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)\exp(-j\frac{2\pi mn}{\frac{N}{2}}),m\in[0,\frac{N}{2}-1]\\ \end{aligned}$
可以看到经过变换后， $m$的取值范围变成了一半。现在考虑另一半的m，有
$\begin{aligned} X(m+\frac{N}2)&=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)\exp(-j\frac{2\pi n(m+\frac{N}2)}{\frac{N}{2}})+\exp(-j\frac{2\pi (m+\frac{N}2)}{N})\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)\exp(-j\frac{2\pi n(m+\frac{N}2)}{\frac{N}{2}}),m\in[0,\frac{N}{2}-1]\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)\exp(-j\frac{2\pi mn}{\frac{N}{2}})\exp(-j2\pi n)+\exp(-j\frac{2\pi m}{N})\exp(-j\pi)\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)\exp(-j\frac{2\pi nm}{\frac{N}{2}})\exp(-j2\pi n),m\in[0,\frac{N}{2}-1]\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)exp(-j\frac{2\pi mn}{\frac{N}{2}})-\exp(-j\frac{2\pi m}{N})\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)\exp(-j\frac{2\pi mn}{\frac{N}{2}}),m\in[0,\frac{N}{2}-1] \end{aligned}$
令
$W^\theta_N=\exp(-j\frac{2\pi \theta}{N})$则
$X(m)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_{\frac{N}2}^{mn}+W_N^m\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_{\frac{N}2}^{mn},m\in[0,\frac{N}{2}-1]\\ X(m+\frac{N}2)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_{\frac{N}2}^{mn}-W_N^m\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_{\frac{N}2}^{mn},m\in[0,\frac{N}{2}-1]\\$
注意到
$\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_{\frac{N}2}^{mn} ①\\ \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_{\frac{N}2}^{mn} ②$
①和②分别是 $N$点序列 $x(n)$中对偶数项与奇数项的 $\frac N 2$点的DFT。

上述两个式子 $X(m)$和 $X(m+\frac N2)$为FFT的核心公式，即一个 $N$点DFT可以分成2个 $\frac N2$点的DFT，并且前 $\frac N2$点DFT与后 $\frac N2$点DFT之间，只有正负号的不同，所以可以使用前 $\frac N2$点DFT公式中的元素，计算后 $\frac N2$点DFT中的元素，使计算量降低。

根据该思路，可以将①和②继续分解，分别求①中奇数项与偶数项的 $\frac N 4$点DFT，和②中奇数项和偶数项的 $\frac N 4$点DFT。这样一直分解下去，直到分解成最简单的2点DFT为止。注意到，在FFT中，N点DFT会一分为二，二分为四，四分为八，最后会分解成多个2点DFT，所以N必须是2的幂次。

接下来，本文用一个 $N=8$点FFT进行说明。

首先写出8点DFT原始公式
$DFT[x(n)]=X(m)=\sum_{n=0}^{7}x(n)exp(-j\frac{2\pi mn}{N}),m\in[0,7]$
根据上文的FFT核心公式，8点DFT可以分为两个4点DFT，即
$X(m)=\sum_{n=0}^{3}x(2n)W_4^{mn}+W_8^m\sum_{n=0}^3x(2n+1)W_4^{mn},m\in[0,3]\\ X(m+4)=\sum_{n=0}^3x(2n)W_4^{mn}-W_8^m\sum_{n=0}^3(2n+1)W_4^{mn},m\in[0,3]\\$
令
$X_1(m)=\sum_{n=0}^{3}x(2n)W_4^{mn}\\ X_2(m)=\sum_{n=0}^{3}x(2n+1)W_4^{mn}\\$
则
$X(m)=X_1(m)+W_8^mX_2(m),m\in[0,3]\\ X(m+4)=X_1(m)-W_8^mX_2(m),m\in[0,3]\\$
1、对 $X_1(m)$进行奇偶分解，有
$\begin{aligned} X_1(m)&=\sum_{n=0}^{1}x(2(2n))W_4^{m2n}+\sum_{n=0}^1x(2(2n+1))W_4^{m(2n+1)},m\in[0,3]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n)\exp(-\frac{2\pi m2n}{4})+W_4^m\sum_{n=0}^1x(4n+2)\exp(-j\frac{2\pi m2n}4),m\in[0,3]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n)W_2^{mn}+W_4^m\sum_{n=0}^1x(4n+2)W_2^{mn},m\in[0,1]\\ &=x(0)W_2^0+x(4)W_2^m+W_4^m[x(2)W_2^0+x(6)W_2^m],m\in[0,1]\\ &=x(0)+x(4)W_2^m+W_4^m[x(2)+x(6)W_2^m],m\in[0,1]\\ \end{aligned}$
即
$X_1(0)=x(0)+x(4)+x(2)+x(6)\\ X_1(1)=x(0)-x(4)+W_4^1[x(2)-x(6)]$
考虑 $m+2\in[2,3]$的情况
$\begin{aligned} X_1(m+2)&=\sum_{n=0}^{1}x(4n)W_2^{(m+2)n}+W_4^{m+2}\sum_{n=0}^1x(4n+2)W_2^{(m+2)n},m\in[0,1]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n)W_2^{mn}\exp(-j2\pi n)+W_4^{m}\exp(-j\pi)\sum_{n=0}^1x(4n+2)W_2^{mn}\exp(-j2\pi n),m\in[0,1]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n)W_2^{mn}-W_4^{m}\sum_{n=0}^1x(4n+2)W_2^{(m+2)n},m\in[0,1]\\ &=x(0)W_2^0+x(4)W_2^m-W_4^m[x(2)W_2^0+x(6)W_2^m],m\in[0,1]\\ &=x(0)+x(4)W_2^m-W_4^m[x(2)+x(6)W_2^m],m\in[0,1]\\ \end{aligned}$
即
$X_1(2)=x(0)+x(4)-[x(2)+x(6)]\\ X_1(3)=x(0)-x(4)-W_4^1[x(2)-x(6)]$
2、对 $X_2(m)$进行奇偶分解，有
$\begin{aligned} X_2(m)&=\sum_{n=0}^{1}x(2(2n)+1)W_4^{m2n}+\sum_{n=0}^1x(2(2n+1)+1)W_4^{m(2n+1)},m\in[0,3]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n+1)\exp(-\frac{2\pi m2n}{4})+W_4^m\sum_{n=0}^1x(4n+3)\exp(-j\frac{2\pi m2n}4),m\in[0,3]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n+1)W_2^{mn}+W_4^m\sum_{n=0}^1x(4n+3)W_2^{mn},m\in[0,1]\\ &=x(1)W_2^0+x(5)W_2^m+W_4^m[x(3)W_2^0+x(7)W_2^m],m\in[0,1]\\ &=x(1)+x(5)W_2^m+W_4^m[x(3)+x(7)W_2^m],m\in[0,1]\\ \end{aligned}$
即
$X_2(0)=x(1)+x(5)+x(3)+x(7)\\ X_2(1)=x(1)-x(5)+W_4^1[x(3)-x(7)]$
考虑 $m+2\in[2,3]$的情况
$\begin{aligned} X_2(m+2)&=\sum_{n=0}^{1}x(4n+1)W_2^{(m+2)n}+W_4^{m+2}\sum_{n=0}^1x(4n+3)W_2^{(m+2)n},m\in[0,1]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n+1)W_2^{mn}\exp(-j2\pi n)+W_4^{m}\exp(-j\pi)\sum_{n=0}^1x(4n+3)W_2^{mn}\exp(-j2\pi n),m\in[0,1]\\ &=\sum_{n=0}^{1}x(4n+1)W_2^{mn}-W_4^{m}\sum_{n=0}^1x(4n+3)W_2^{mn},m\in[0,1]\\ &=x(1)W_2^0+x(5)W_2^m-W_4^m[x(3)W_2^0+x(7)W_2^m],m\in[0,1]\\ &=x(1)+x(5)W_2^m-W_4^m[x(3)+x(7)W_2^m],m\in[0,1]\\ \end{aligned}$
即
$X_2(2)=x(1)+x(5)-[x(3)+x(7)]\\ X_2(3)=x(1)-x(5)-W_4^1[x(3)-x(7)]$
将 $X_1(m)$和 $X_2(m)$分解后的表达式代回 $X(m)$和 $X(m+4)$中，有
$\begin{aligned} X(m)&=X_1(m)+W_8^mX_2(m)\\ X(m+2)&=X_1(m+2)+W_8^{m+2}X_2(m+2)\\ X(m+4)&=X_1(m)-W_8^mX_2(m)\\ X((m+2)+4)&=X_1(m+2)-W_8^{m+2}X_2(m+2)\\ m&\in[0,1] \end{aligned}$
将 $m\in[0,1]$代入，得到 $X(0),X(1),...,X(7)$的表达式
$\begin{aligned} X(0)&=x(0)+x(4)+x(2)+x(6)+x(1)+x(5)+x(3)+x(7)\\ X(1)&=x(0)-x(4)+W_4^1[x(2)-x(6)]+W_8^1\{x(1)-x(5)+W_4^1[x(3)-x(7)]\}\\ X(2)&=x(0)+x(4)-[x(2)+x(6)]+W_8^2\{x(1)+x(5)-[x(3)+x(7)]\}\\ X(3)&=x(0)-x(4)-W_4^1[x(2)-x(6)]+W_8^3\{x(1)-x(5)-W_4^1[x(3)-x(7)]\}\\ X(4)&=x(0)+x(4)+x(2)+x(6)-[x(1)+x(5)+x(3)+x(7)]\\ X(5)&=x(0)-x(4)+W_4^1[x(2)-x(6)]-W_8^1\{x(1)-x(5)+W_4^1[x(3)-x(7)]\}\\ X(6)&=x(0)+x(4)-[x(2)+x(6)]-W_8^2\{x(1)+x(5)-[x(3)+x(7)]\}\\ X(7)&=x(0)-x(4)-W_4^1[x(2)-x(6)]-W_8^3\{x(1)-x(5)-W_4^1[x(3)-x(7)]\}\\ \end{aligned}$
即
$\begin{aligned} X(0)&=x(0)+x(4)+x(2)+x(6)+x(1)+x(5)+x(3)+x(7)\\ X(1)&=x(0)-x(4)-j[x(2)-x(6)]+\exp(-j\frac{\pi}4)\{x(1)-x(5)-j[x(3)-x(7)]\}\\ X(2)&=x(0)+x(4)-[x(2)+x(6)]-j\{x(1)+x(5)-[x(3)+x(7)]\}\\ X(3)&=x(0)-x(4)+j[x(2)-x(6)]+\exp(-j\frac{3\pi}4)\{x(1)-x(5)+j[x(3)-x(7)]\}\\ X(4)&=x(0)+x(4)+x(2)+x(6)-[x(1)+x(5)+x(3)+x(7)]\\ X(5)&=x(0)-x(4)-j[x(2)-x(6)]-\exp(-j\frac{\pi}4)\{x(1)-x(5)-j[x(3)-x(7)]\}\\ X(6)&=x(0)+x(4)-[x(2)+x(6)]+j\{x(1)+x(5)-[x(3)+x(7)]\}\\ X(7)&=x(0)-x(4)+j[x(2)-x(6)]-\exp(-j\frac{3\pi}4)\{x(1)-x(5)+j[x(3)-x(7)]\}\\ \end{aligned}$