【总结】树状数组(7.26)

update:二维树状数组的实现

一.概述

树状数组，是一个区间查询和单点修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两点之间的所有元素之和。

树状数组的题多半要转化，利用差分数组，可以将区间修改变为单点修改，单点查询变为区间查询（即前缀和）。只要满足单点修改，我们总能用树状数组来维护前缀和。

$bit[i]$数组可以看作一个树形结构，它满足以下三个性质：

1. 每个内部节点$bit[x]$保存以它为根的子树中所有叶节点的和
2. 每个内部节点$bit[x]$的子节点个数等于$lowbit(x)$的位数
3. 除树根外，每个内部节点bit[x]的父节点是bit[x+lowbit(x)]
4. 树的深度为$O（logN）$
5. $bit[x]$表示区间$[x-lowbit(x)+1,x]$

个人认为它比较数学化，利用了数的性质（尤其是二进制）。

二.例题

1. 模拟类
2. 计数类（偏数学）

二维树状数组：

https://blog.csdn.net/qq_35885746/article/details/89247993

1. 单点修改，区间查询

思路：$bit[i][j]$表示$(i-lowbit(i)+1,j-lowbit(j)+1)$到$(i,j)$的子矩阵和,sum函数显然很好写：

ll Sum(int x, int y) {
    
    
    ll tot = 0;
    for (int i = x; i; i -= i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j; j -= j & -j) {
    
    
            tot += bit[i][j];
        }
    }
    return tot;
}

关键的是update函数。仔细思考：i,j的父节点分别是i+lowbit(i)-1,j+lowbit(j)-1,我们要更新的x,y必然都是i,j的祖先节点，所以用二重循环遍历祖先节点即可。

void update(int x, int y, int k) {
    
    
    for (int i = x; i <= n; i += i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j <= m; j += j & -j) {
    
    
            bit[i][j] += k;
        }
    }
}

查询操作是O(1):

long long get() {
    
    
    printf("%lld\n", Sum(c,d) - Sum(c,b-1) - Sum(a-1,d) + Sum(a-1,b-1));
}

总时间复杂度是$O（logn\ast logn\ast t）$,t是操作总数

2.区间修改，单点查询

思路：这里维护的数组值是差分数组的前缀和。
我们可以令差分数组d[i][j]=a[i][j]- a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]。
然后神奇的发现：$a[i][j]={\sum }_{x=1}^i{\sum }_{y=1}^{j}d[x][y]$
至于证明，显然成立（虽然这个式子比较难想）

long long Sum(int x, int y) {
    
    
    long long tot = 0;
    for (int i = x; i; i -= i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j; j -= j & -j) {
    
    
            tot += bit[i][j];
        }
    }
    return tot;
}
long long get() {
    
    
    printf("%lld\n", Sum(x,y));
}

然后考虑d[i][j]数组的变化，发现一次区间修改相当于把四个点的d值进行修改。update函数把sum累加，正好就是点的变化。

void update(int x, int y, int k) {
    
    
    for (int i = x; i <= n; i += i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j <= m; j += j & -j) {
    
    
            bit[i][j] += k;
        }
    }
}

3.区间修改，区间查询

思路：仍然维护d数组，修改函数同上。
下面讨论如何计算区间的和：
$sum[x][y]={\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}a[i][j]={\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\ast (x-i+1)\ast (y-j+1)={\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\ast (xy+x+y+1)-d[i][j]\ast i\ast (y+1)-d[i][j]\ast j\ast (x+1)+d[i][j]\ast i\ast j$
那么我们要开四个树状数组，分别维护：

$d[i][j],d[i][j]\ast i,d[i][j]\ast j,d[i][j]\ast i\ast j$

这样就可以解决上述问题了

void update(int x, int y, long long k) {
    
    
    for (int i = x; i <= n; i += i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j <= m; j += j & -j) {
    
    
            bit1[i][j] += k, bit2[i][j] += 1LL * k * x, bit3[i][j] += 1LL * k * y,
                bit4[i][j] += 1LL * x * y * k;
        }
    }
}
long long Sum(int x, int y) {
    
    
    long long tot = 0;
    for (int i = x; i; i -= i & -i) {
    
    
        for (int j = y; j; j -= j & -j) {
    
    
            tot += bit4[i][j] - (x + 1) * bit3[i][j] - (y + 1) * bit2[i][j] + (x + 1) * (y + 1) * bit1[i][j];
        }
    }
    return tot;
}
long long get() {
    
    
    printf("%lld\n", Sum(c, d) - Sum(c, b - 1) - Sum(a - 1, d) + Sum(a - 1, b - 1));
}