ICPC小米 Matrix Subtraction 二维差分

题目链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7501?&headNav=www#question

题意

给定 n* m 矩阵，可以多次对矩阵中a* b的小矩阵全部元素减一，求是否可以全减为0

思路

从上到下，左到右遍历每一个元素，对于每一个元素当前值ai，将以他为第一行第一列的a*b矩阵全部减去ai，遍历完成后，如果所有值都为零，则说明可以实现，否则不能。

暴力算法复杂度是O（nmab）的，我们可以用二维差分优化区间修改。

一维差分diff[i]=a[i]-a[i-1],对x，y区间加上z，可以对diff[x]+=z，diff[y+1]-=z.最终对其取前缀和就是原数组。

二维差分diff[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1],若在矩形x1 y1,x2 y2范围加z，则对diff[x1][y1]+=z,diff[x1][y2+1]-=z,diff[x2+1][y1]-=z,diff[x2+1][y2+1]+=z。原数组则可以使用二维前缀和还原。

我们将矩阵元素减为0，则diff数组也全为零，则我们遍历差分数组，如果当前元素大于等于0，则把以该点为第一行第一列的小矩形利用差分数组进行区间减法，否则则确定答案不存在。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<string>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib> 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl "\n"
//#define int long long
//#define double long double
using namespace std;
	typedef long long ll;
	const int maxn=4005;
	const int inf=0x3f3f3f3f;
	int n,m,a,b;
	int aa[maxn][maxn];
	int diff[maxn][maxn];
	int main(){
    
    
		IOS
		int tn;
		cin>>tn;
		while(tn--){
    
    
			cin>>n>>m>>a>>b;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=m;j++){
    
    
					cin>>aa[i][j];
		            diff[i][j]=aa[i][j]-aa[i-1][j]-aa[i][j-1]+aa[i-1][j-1];
				}
			bool bl=1;
			for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
				for(int j=1;j<=m;j++){
    
    
            		int tmp=diff[i][j];
            		if(!tmp)
            			continue;
            		else if(tmp<0){
    
    
            			bl=0;
            			break;
					}
					else if(i<=n-a+1&&j<=m-b+1){
    
    
						diff[i][j] -= tmp;
						diff[i][j+b] +=tmp;
						diff[i+a][j] +=tmp;
						diff[i+a][j+b] -= tmp;
					}	
					else{
    
    
						bl=0;
						break;
					}
				}
			}
			if(!bl)
				cout<<"QAQ"<<endl;
			
			else
				cout<<"^_^"<<endl;
			
			
		}
	}