让你秒懂汉诺塔的递归问题

要想弄清楚汉诺塔的递归问题，我们就先得游戏的规则入手：有A,B,C三座，将塔A上N个从小到大叠放的盘子移动到塔C，一次只能移动一个，不重复移动，小盘子必须在大盘子上面。

首先，我们不谈复杂的情况，我们先用最“笨”的方法来完成汉诺塔游戏。
当N=1时
很简单，当汉诺塔只有一层，我们毫不犹豫的将塔A上的移动到塔C，sum=1；
当N=2时
我们利用B作为中转站，把第一块移动到B，接下来把第二块移动到C，再把第一块从B移动到C，sum=3；
当N=3时
我们进行如下的操作：
第一块：A->C
第二块：A->B
第一块：C->B
第三块：A->C
第一块：B->A
第二块：B->C
第一块：A->C
可得sum=7;
当我们解决汉诺塔有三层的问题时，发现存在着一个中间过程，即第一块和第二块一起被放在了中转站B上，若把这个状态看作一个过程，那么三层汉诺塔不就可以被看作先移动二层汉诺塔，再移动第三层汉诺塔，再将中转站上的二层汉诺塔移动到C上了吗？而移动二层汉诺塔的次数是固定的，我们设移动三层汉诺塔的次数为 H₃ ,移动二层汉诺塔的次数为 H₂ ,于是我们有 H₃ = 2 × H₂ +1 .
要解决三层汉诺塔问题，我们就先得解决两个二层汉诺塔问题再加上1，要解决二层汉诺塔问题，我们就得解决两个一层汉诺塔问题再加上1，以此类推，若要解决三层以上的汉诺塔问题，归根结底都是要解决一层汉诺塔的简单问题。

当N=n时
要解决n层汉诺塔问题，就得解决 2个 n-1 层汉诺塔问题和移动1次第 n 个汉诺塔，而这时问题就被拆解为只需研究 n-1 层汉诺塔的问题了 ，而 n-1 层汉诺塔可以一直继续拆解，一直拆解到当 n=1 的时候。 递推公式由此而来，可得H_n = 2× H_n-1 +1, 利用数学方法，可求得通项公式 H_n = 2ⁿ -1.
下面是递归程序的具体实现：

#include<stdio.h>
int hanoi(char A, char B, char C, int n)
{
    
    
	if (n == 1)
	{
    
    
		return 1;
	}
	return hanoi(A, C, B, n - 1) + hanoi(B, A, C, n - 1) + 1;
	
}
int main()
{
    
    
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int sum = hanoi('A', 'B', 'C', n);
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}