中科大-凸优化 笔记（lec39）-敏感性分析

全部笔记的汇总贴（视频也有传送门）：中科大-凸优化

一、敏感性分析

性质1：若原问题为凸问题，则$P^{\ast }(u,w)$为$(u,w)$的凸函数。

证明： P ∗ ( u , w ) = inf ⁡ x { f 0 ( x ) ∣ f i ( x ) ≤ u i , i = 1 , ⋯   , m , h i ( x ) = w i , i = 1 , ⋯   , P ( D ) } = inf ⁡ x g ( x , u , w ) g ( x , u , w ) = Δ f 0 ( x ) , d o m    g = d o m    f 0 ∩ D ( 凸 集 f i ( x ) − u i ≤ 0    h i ( x ) − w i = 0 ) g ( x , u , w ) 为 ( x , u , w ) 的 凸 函 数 f ( x , y ) 对 x 是 凸 的 ， 则 sup ⁡ y ∈ D f ( x , y ) 对 ( x , y ) 是 凸 的 P^*(u,w)=\inf_x\{f_0(x)|f_i(x)\le u_i,i=1,\cdots,m,{\color{blue}h_i(x)=w_i,i=1,\cdots,P(D)}\}\\=\inf_x g(x,u,w)\\g(x,u,w)\overset{\Delta}{=}f_0(x),{\color{blue}dom\;g=dom\;f_0\cap D(凸集f_i(x)-u_i\le0\;h_i(x)-w_i=0)}\\g(x,u,w)为(x,u,w)的凸函数\\f(x,y)对x是凸的，则\sup_{y\in D}f(x,y)对(x,y)是凸的 P∗(u,w)=xinf​{ f0​(x)∣fi​(x)≤ui​,i=1,⋯,m,hi​(x)=wi​,i=1,⋯,P(D)}=xinf​g(x,u,w)g(x,u,w)=Δf0​(x),domg=domf0​∩D(凸集fi​(x)−ui​≤0hi​(x)−wi​=0)g(x,u,w)为(x,u,w)的凸函数f(x,y)对x是凸的，则y∈Dsup​f(x,y)对(x,y)是凸的

性质2：若原问题为凸，对偶间隙为零，${\lambda }^{\ast },v^{\ast }$为原问题对偶问题对偶最优解。$$P^{\ast }(u,w)\ge P^{\ast }(0,0)-({\lambda }^{\ast }{)}^{T}u-(v^{\ast }{)}^{T}w$$

证明：$$\begin{gathered} 设\tilde{x}为干扰问题的最优解 \\ {f}_i(\tilde{x})\le u_i,i=1,\cdots ,m,h_i(\tilde{x})=w_i,i=1,\cdots ,P \\ {P}^{\ast }(0,0)=g^{\ast }({\lambda }^{\ast },v^{\ast }) \\ \le f_0(\tilde{x})+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i^{\ast }{f}_i(\tilde{x})+\sum _{i=1}^P{v}_i^{\ast }{h}_i(\tilde{x}) \\ \le f_0(\tilde{x})+({\lambda }^{\ast }{)}^{T}u+(v^{\ast }{)}^{T}w \\ =P^{\ast }(u,w)+({\lambda }^{\ast }{)}^{T}u+(v^{\ast }{)}^{T}w \end{gathered}$$

1. 若${\lambda }_i^{\ast }$很大，且加紧第$i$项不等式约束$u_i<0$，则$P^{\ast }(u,w)$急剧增加；
2. 若$v_i^{\ast }$很大正值，使$w_i<0$，或$v_i^{\ast }$绝对值很大负值，使$w_i>0$，则$P^{\ast }(u,w)$急剧增加；
3. 若${\lambda }_i^{\ast }$很小，且$u_i>0$，则$P^{\ast }(u,w)$下降不大；
4. 若$v_i^{\ast }$很小正值，使$w_i>0$，或$v_i^{\ast }$绝对值很小负值，使$w_i<0$，则$P^{\ast }(u,w)$下降不大。

性质3：（局部敏感性）若原问题为凸，对偶间隙为零，且$P^{\ast }(u,w)$在$(u,w)=(0,0)$处可微。$$\begin{gathered} {\lambda }_i^{\ast }=-\frac{\partial P^{\ast }(0,0)}{\partial u_i},v_i^{\ast }=-\frac{\partial P^{\ast }(0,0)}{\partial w_i} \\ {P}^{\ast }(u,w)=P^{\ast }(0,0)-({\lambda }^{\ast }{)}^{T}u-(v^{\ast }{)}^{T}w \end{gathered}$$

下一章传送门：中科大-凸优化 笔记（lec40）-松弛对偶