现在我们来到了五子棋ai的核心环节：极大极小搜索和α-β剪枝算法。这两个东西听上去挺高大上，但我实际中去实现之后才发现，原来也就是那么回事。
一、极大极小搜索
什么是极大极小搜索？我首先要介绍博弈树的概念。博弈树就是己方和敌方进行决策时形成的树状结构，每一个节点的分支表示当前节点可以走的各种可能的位置，每一个叶结点表示一个局面。比如说，从空棋盘开始（根节点），我进行落子，我有15x15=255种落子选择，我落子之后，形成了一颗有255个节点的博弈树，博弈树的叶结点就是一个局面。如果此时对手进行落子，对手有254种选择，那么新形成的博弈树就会有255x254个叶结点。
可以看到，博弈树是指数级别的，如果平均分支为b，博弈树层数为d(根节点为第0层)，那么叶结点的总数约为b^d。
有了博弈树的概念，我们就可以实现能看几步的“聪明”ai了。那么怎么“看几步”呢？简单来说，就是遍历博弈树的所有叶结点，寻找到对ai最有利的局面，然后进行落子。在博弈树中，当ai走棋时选择对自己最有利的位置节点走，而当玩家走棋时，是ai模拟玩家选择对玩家最有利的位置节点走。由于评估函数F对局势的评分是对于ai白子来说的，所以ai走棋时选择F最大的节点，模拟玩家走棋时选择F最小的节点（F越小，对ai越不利，对玩家越有利，ai模拟玩家时是认为玩家是“聪明”的），这就是称为极大极小搜索的缘故。
二、极大极小搜索优化
1.α-β剪枝算法
这个算法的名字听起来很高大上，但是实际内涵并不难理解。
举一个很简单的例子。
max层表示这一层节点的值应该选它的子节点的最大值，min层表示这一层节点的值应该选它的子节点的最小值。
对于这样一颗博弈树，已知了叶结点d、f、g、h的值，怎么求a的值呢？首先由d、f可以知道b的值为-1，然后a搜完了b节点，搜索另一边，搜索到a-c-g，此时可以知道c的值必然是<=-2的，由于a要选最大值节点，b的值已经大于c了，没有必要再搜完c节点，那么a-c-h这一个分支就被“剪掉了”。
α-β剪枝算法中每一个节点对应有一个α和一个β，α表示目前该节点的最好下界，β表示目前该节点的最好上界。在最开始时，α为负无穷，β为正无穷。然后进行搜索，max层节点每搜索它的一个子节点，就要更新自己的α（下界），而min层节点每搜索它的一个子节点，就要更新自己的β（上界）。如果更新之后发现α>=β了，说明后面的子节点已经不需要进行搜索了，直接break剪枝掉。这就是α-β剪枝算法的全部含义。
我的代码：
struct POINTS{
//最佳落子位置,[0]分数最高,[9]分数最低
QPoint pos[10];
int score[10];//此处落子的局势分数
};
struct DECISION{
QPoint pos;//位置
int eval;//对分数的评估
};
DECISION decision;//analyse得到的最佳落子点
int chessAi::analyse(int (*board)[15], int depth, int alpha, int beta){
gameResult RESULT=evaluate(board).result;
if(depth==0||RESULT!=R_DRAW){
//如果模拟落子可以分出输赢，那么直接返回结果，不需要再搜索
if(depth==0)
POINTS P;
P=seekPoints(board);//生成最佳的可能落子位置
return P.score[0];//返回最佳位置对应的最高分
}else return evaluate(board).score;
}else if(depth%2==0){
//max层,我方(白)决策
int sameBoard[15][15];
copyBoard(board,sameBoard);
POINTS P=seekPoints(sameBoard);
for(int i=0;i<10;++i){
sameBoard[P.pos[i].x()][P.pos[i].y()]=C_WHITE;//模拟己方落子,不能用board,否则可能改变board的信息
int a=analyse(sameBoard,depth-1,alpha,beta);
sameBoard[P.pos[i].x()][P.pos[i].y()]=C_NONE;//还原落子
if(a>alpha){
alpha=a;
if(depth==4){
//4是自己设立的深度(可以改为6,8,但必须为偶数),用来找最佳落子
decision.pos.setX(P.pos[i].x());
decision.pos.setY(P.pos[i].y());
decision.eval=a;
}
}
if(beta<=alpha)break;//剪枝
}
return alpha;
}else{
//min层,敌方(黑)决策
int rBoard[15][15];
reverseBoard(board,rBoard);
POINTS P=seekPoints(rBoard);//找对于黑子的最佳位置,需要将棋盘不同颜色反转,因为seekPoint是求白色方的最佳位置
int sameBoard[15][15];
copyBoard(board,sameBoard);
for(int i=0;i<10;++i){
sameBoard[P.pos[i].x()][P.pos[i].y()]=C_BLACK;//模拟敌方落子
int a=analyse(sameBoard,depth-1,alpha,beta);
sameBoard[P.pos[i].x()][P.pos[i].y()]=C_NONE;//还原落子
if(a<beta)beta=a;
if(beta<=alpha)break;//剪枝
}
return beta;
}
}
seekPoints()是用来找目前局面时最佳的几个落子点的位置以及落子之后的分数，这里用了局部搜索和静态评价启发来提高效率，后面再讲。
有几点非常容易犯错（我改bug花了半周），需要注意：
1.博弈树搜索深度depth必须为偶数，因为叶结点的局面评估函数F是对于白子走了一步的局面评估的，如果depth为奇数，会导致叶结点的F估值错误。
2.递归调用analyse时，不能用原来的board棋盘数组，因为analyse会模拟落子，如果简单的在board上面模拟落子会改变board的信息，后面的递归调用会不停的修改board，这样就不会得到正确结果。好的做法是复制一个新棋盘数组，然后模拟落子，再作为参数传给递归的analyse。
2.局部搜索和静态评价启发
由于博弈树是指数级别的，如果能想办法减小平均分支数b，就能极大减少叶结点的数量。
局部搜索是说，只考虑那些能和棋子产生关系的空位置，而不用考虑所有空位置，这样能极大减小b的值。我的局部搜索的考虑棋盘上每一个有子点周围8个方向上延申3个深度，只有这些地方会与现有棋子产生联系。
静态评价启发是对于α-β剪枝算法而言的，意思是说，如果越早搜索到较优走法，剪枝就会越早发生。如果对可走节点的评估分数进行简单排序，就可以提高剪枝速度。我将局部搜索得到的所有可走节点的分数进行排序，放到POINTS类的一个对象中，[0]分数最高，[9]分数最低。
seekPoints()是综合了这两种优化方式的生成最佳落子位置函数，一般来说，搜索10个最优走法就已经可以满足需求了，可以极大提升搜索速度，但如果过多减小有可能剪掉有利分支。那么，如果是搜索深度为4，最多只需要搜索10^5=100000个叶结点，并且静态评价启发和α-β剪枝算法进一步减少，实际程序运行只需要搜索5000个叶结点，减少得非常多了！
struct POINTS{
//最佳落子位置,[0]分数最高,[9]分数最低
QPoint pos[10];
int score[10];//此处落子的局势分数
};
POINTS chessAi::seekPoints(int board[15][15]){
bool B[15][15];//局部搜索标记数组
int worth[15][15];
POINTS best_points;
memset(B,0,sizeof (B));
for(int i=0;i<15;++i){
//每个非空点附近8个方向延伸3个深度,若不越界则标记为可走
for(int j=0;j<15;++j){
if(board[i][j]!=C_NONE){
for(int k=-3;k<=3;++k){
if(i+k>=0&&i+k<15){
B[i+k][j]=true;
if(j+k>=0&&j+k<15)B[i+k][j+k]=true;
if(j-k>=0&&j-k<15)B[i+k][j-k]=true;
}
if(j+k>=0&&j+k<15)B[i][j+k]=true;
}
}
}
}
for(int i=0;i<15;++i){
for(int j=0;j<15;++j){
worth[i][j]=-INT_MAX;
if(board[i][j]==C_NONE&&B[i][j]==true){
board[i][j]=C_BLACK;
worth[i][j]=evaluate(board).score;
board[i][j]=C_NONE;
}
}
}
int w;
for(int k=0;k<10;++k){
w=-INT_MAX;
for(int i=0;i<15;++i){
for(int j=0;j<15;++j){
if(worth[i][j]>w){
w=worth[i][j];
QPoint tmp(i,j);
best_points.pos[k]=tmp;
}
}
}
best_points.score[k]=w;
worth[best_points.pos[k].x()][best_points.pos[k].y()]=-INT_MAX;//清除掉上一点,计算下一点的位置和分数
}
return best_points;
}
结束语
那么到这里，实现的五子棋ai就已经基本结束了。ai当深度为4时表现相当优异（不到0.5秒），而当深度为6时运行就比较慢了（前面要8秒，后面就快了，只用2、3秒）。看别的大佬的项目，还实现了深度迭代算杀、zobrist缓存优化和多线程等更深的技术，无奈我们现在开始上网课了，之前丢掉的unity项目也忘得差不多了，总之事情一大堆，那么继续优化的事情还是以后有空再说吧。
这个项目搞了我一个多星期，现在回想起来，自己走了不少弯路，也得到了不少经验教训，在这里写博客是想分享自己费了好大功夫弄出来的估值函数那一块，别人能少踩几个坑吧，毕竟自己找资料蛮辛苦的。