算法数据结构斐波那契数列递归实现斐波那契数列斐波那契递归的优化斐波那契数列递归求解多路递归实现斐波那契算法系列数据结构（十一）

1. 什么是斐波那契数列：

之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion
如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

递推关系

$f(n) = \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & n=1 \\ f(n-1) + f(n-2) & n>1 \end{cases}$

下面的表格列出了数列的前几项

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

多路递归斐波那契代码实现1：

package com.nami.algorithm.study.day07;

/**
 * beyond u self and trust u self.
 *
 * @Author: lbc
 * @Date: 2023-09-06 9:29
 * @email: [email protected]
 * @Description: keep coding
 */
public class Fibonacci {

    /**
     * 出现问题的，计算 n= 88 根本算不出来。多路递归一直在循环里面了。出不来 --！
     * @param n
     * @return
     */
    public static int calculate(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int f1 = calculate(n - 1);
        int f2 = calculate(n - 2);
        return f1 + f2;
    }


    public static void main(String[] args) {
        // 时间复杂度： 2*f(n+1) -1
        // E(1.618N次方)
        System.out.println(calculate(88));
    }

}

非递归实现2 --- LeetCode 70. 爬楼梯计算爬楼梯共计多少种方法可达_不努力就种地~的博客-CSDN博客

之前写的爬楼梯解决方案：

public static  int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }

这种方法直接用数组去存储前面计算的值，不用重复计算。没有出现上面n=88出现的计算缓慢问题

递归优化方案：

使用数组，存储之前计算的数据，减少计算次数。妙哉

package com.nami.algorithm.study.day07;

import java.util.Arrays;

/**
 * beyond u self and trust u self.
 *
 * @Author: lbc
 * @Date: 2023-09-06 9:29
 * @email: [email protected]
 * @Description: keep coding
 */
public class FastFibonacci {

    /**
     * 出现问题的，计算 n= 100000
     * 出现异常 StackOverflowError
     * 方法层级太深，会导致栈溢出
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public static int calculate(int n) {
        // 初始化缓存
        // ==>记忆法
        // 空间换时间
        int[] cache = new int[n + 1];

        // 填充-1 标识未该值为计算
        Arrays.fill(cache, -1);
        cache[0] = 0;
        cache[1] = 1;
        return fibonacci(n, cache);
    }

    /**
     * 时间复杂度： O(n)
     * 增加额外空间成本
     *
     * @param n
     * @param cache
     * @return
     */
    private static int fibonacci(int n, int[] cache) {
        if (cache[n] != -1) {
            return cache[n];
        }
        int f1 = fibonacci(n - 1, cache);
        int f2 = fibonacci(n - 2, cache);
        cache[n] = f1 + f2;
        return cache[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // n=88也有问题，出现-值
        // -2092787285
        System.out.println(calculate(88));
    }

}

使用数组进行优化，也有一个问题，数组只有n-1, n-2两个值有用。对于计算之后，存储前面n-3的值没有了意义；

优化2 ==>尾递归:

尾递归（防止栈溢出） + 只取n-1, n-2的值流转

package com.nami.algorithm.study.day07;

/**
 * 尾递归 斐波那契数列
 * beyond u self and trust u self.
 *
 * @Author: lbc
 * @Date: 2023-09-06 9:29
 * @email: [email protected]
 * @Description: keep coding
 */
public class TailRecFibonacci {

    /**
     * @param n
     * @return
     */
    public static int calculate(int n) {
        return fibonacci(n, 0, 1);
    }

    private static int fibonacci(int n, int first, int second) {
        if (n == 0) {
            return first;
        }
        if (n == 1) {
            return second;
        }
        return fibonacci(n - 1, second, first + second);
    }

    public static void main(String[] args) {
        // n=47，出现-值
        // -1323752223
        // 18 3631 1903 + 11 3490 3170
        //    n= 46     +    n=45
        // int 最大值 21 4748 3647
        System.out.println(calculate(46));
    }

}

为什么斐波那契数列会出现负值？

当n=88时，结果等于负数。排查发现：当n=46是正常的，n=47时，前面两个值的相加已经超过了int最大值int.max_value= 21 4748 3647 所以出现负数

如何根本上解决爆栈问题：

递归转for or while循环解决问题。

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