牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix(非降路径和Lindström–Gessel–Viennot定理)

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/A
来源：牛客网

题目描述
Count the number of n x m matrices A satisfying the following condition modulo (109+7).
* Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
* Ai, j ≤ Ai + 1, j for all 1 ≤ i < n, 1 ≤ j ≤ m.
* Ai, j ≤ Ai, j + 1 for all 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j < m.
输入描述:
The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.
输出描述:
For each test case, print an integer which denotes the result.
示例1
输入

复制
1 2
2 2
1000 1000
输出

复制
6
20
540949876
备注:
* 1 ≤ n, m ≤ 103
* The number of test cases does not exceed 105.

题意

给你一个nxm的矩阵让你向其中填{0,1,2}三个数且满足$A_{i,j}\leqslant A_{i+1,j}$，$A_{i,j}\leqslant A_{i,j+1}$有几种填法

思路

填数的过程可以看作是一个沿着网格走的过程，我们先只考虑仅有0,1两个数字那么每一种填法都有一条沿着两者边界的路径，这个路径也满足只能往上和往右走，这就变成了典型的非降路径的问题了

非降路径问题转换为组合数可以认为总共有n+m总选择方案从中选择n种或m种及$C_{n+m}^n$或$C_{n+m}^m$，这道题的区别在于现在有两条路径一条是0和1的一条是1和2的即把矩阵分成3个区间

现在有两条可重合的路径

$$(n,0)->(0,m)$$
如果不考虑两条路径相交的情况的话，那么总的方法数就会变成 $C_{n+m}^n*C_{n+m}^n$
下面是去重的方法
我们将其中的一条向左上平移使其变为 $(n-1,-1)->(-1,m-1)$，相对的我们要求解的就是这两条路径严格不相交的方案数
那么现在两条路径就是
$$(n,0)->(0,m)$$ $$(n-1,-1)->(-1,m-1)$$

根据 Lindström–Gessel–Viennot引理我们就可以求出n条严格不相交的路径的方案数
$$M=\begin{vmatrix} e(a_1,b_1)& e(a_1,b_2) &\cdots & e(a_1,b_n)\\ e(a_2,b_1)& e(a_2,b_2) &\cdots & e(a_2,b_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ e(a_n,b_1)& e(a_n,b_2) & \cdots & e(a_n,b_n) \end{vmatrix}$$
其中 $a_i$代表路径的起点 $b_i$代表路径的终点 $e(a_i,b_j)$代表 $a_i$到 $b_j$的方案数，答案是这个行列式的值
我们现在只有两个点即 $$a_1=(n,0),b_1=(0,m)$$ $$a_2=(n-1,-1),b_2=(-1,m-1)$$
那么答案就是
$$M=\begin{vmatrix} e(a_1,b_1)& e(a_1,b_2) \\ e(a_2,b_1)& e(a_2,b_2) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C_{n+m}^n& C_{n+m}^{n+1} \\ C_{n+m}^{m+1}& C_{n+m}^n \end{vmatrix}={C_{n+m}^n}^2-C_{n+m}^{n+1}* C_{n+m}^{m+1}$$
$e(a_i,b_j)$可以用非降路径的方法求出

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=2e3+5;
const long long mod=1e9+7;
long long C[N][N];
void get_C()
{
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        C[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            {
            C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
            }
    }
}
int main()
{
    get_C();
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        long long ans=(C[n+m][n]%mod*C[n+m][n]%mod-C[n+m][n+1]%mod*C[n+m][m+1]%mod)%mod;
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}