[BZOJ4318] WJMZBMR打osu! / Easy (期望DP)

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Solution

Wa,我是真的被期望折服了,感觉这道题拿来练手正好.
DP的难度可做又巧妙...

我们定义:
\(f[i]\) 代表到第 \(i\) 次点击的时候的最大答案.
\(g[i]\) 代表到第 \(i\) 此点击的 \(o\) 的期望长度.

然后看转移:
1.此时为 \(o\) ,那么我可以直接计算答案。
由于 \((x+1)^2=x^2+2x+1\) ,所以我们得到转移方程:
\[f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1\]
同时由于此时 \(o\) 的长度已经增加,所以同时 \(g[i]=g[i-1]+1\).

2.此时为 \(x\),同样直接统计答案.
\(f[i]=f[i-1]\) , \(g[i]=0\).

3.此时为 \(?\) ,那么我们对于以上两种情况都有 \(0.5\) 的概率.
然后直接转移:
\[f[i]=0.5*(f[i-1]+2*g[i-1]+1+f[i-1])\]
\[g[i]=0.5*(g[i-1]+1)\]
然后最后面 \(f[n]\) 即为答案

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int maxn=300008;
db f[maxn],g[maxn];
int n;
string ch;
int main()
{
    cin>>n;
    ch='*';
    string s; cin>>s;
    ch+=s;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ch[i]=='o')
        {
            f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1;
            g[i]=g[i-1]+1;
        }
        if(ch[i]=='x')
        {
            f[i]=f[i-1];
            g[i]=0;
        }
        if(ch[i]=='?')
        {
            f[i]=0.5*(f[i-1]+2*g[i-1]+1+f[i-1]);
            g[i]=0.5*(g[i-1]+1);
        }
    }
    printf("%.4lf",f[n]);
}