【bzoj4318】OSU!

题目描述

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

输入

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

输出

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

样例输入

3
0.5
0.5
0.5

样例输出

6.0

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题解

对于位置 i ，考虑增加一个 0 ，分数不变；增加一个 1 ，对答案的贡献为 (x+1)³ - x³ =  3*x²+3*x+1  ，其中 x 为位置 i-1 开始极长的一串1 的长度。

设 a[ i ] 为从 i 开始向前最长 1 串的长度的期望 ， af[ i ] 为从 i 开始向前最长 1 串的长度平方的期望 （注意不是期望的平方）。

那么 a[ i ] = ( a[ i-1 ] +1 ) * p[ i ]   ，    af[ i ] = ( af[ i-1 ] + 2 * a[ i-1 ] +1 ) * p[ i ]      ，    dp[ i ] = dp[ i-1 ] + ( af[ i-1 ] * 3 + a[ i-1 ] * 3 + 1 ) * p[ i ]             O(n) 递推即可。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=100000+50;
int n;
double dp[maxn],a[maxn],af[maxn],x;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&x);
        a[i]=(a[i-1]+1)*x;
        af[i]=(af[i-1]+2*a[i-1]+1)*x;
        dp[i]=(3*af[i-1]+3*a[i-1]+1)*x+dp[i-1];
    }
    printf("%.1lf\n",dp[n]);
    return 0;
}