算法分析week3 | 785. Is Graph Bipartite?

目录

1. 题目描述
2. 解题过程
3. 完整代码
4. 改进
5. 改进代码

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题目描述

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解题过程

这道题与书上习题3.7类似。二部图是这样的图G=(V,E)，其顶点集合可以被划分为两个子集（V = V1 ∪ V2 且 V1 ∩ V2 = Ф），并且子集内部的顶点之间没有边相连。

要判断一个无向图是否是二部图，我们可以考虑这个图是否可以用两种颜色为它着色，有边相连的两个顶点需要着不同颜色。

首先，用一个数组subsets来记录每个顶点的颜色，-1表示未着色，而0，1分别表示两种不同的颜色。

        vector<int> subsets;
        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) subsets.push_back(-1);

由于给定的图可能由多个强连通部件构成，因此需要对每个顶点进行检查。如果当前顶点已经着色，则可以跳过，因为这表示该顶点所在的强连通部件已经被着色了。如果有一个强连通部件不能用两种颜色着色，则返回false，如果所有强连通部件都可以用两种颜色着色，则返回true。

        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
            if(subsets[i] != -1) continue;
            if(!explore(subsets, graph, i)) return false;
        }

explore使用深度优先遍历，对一个强连通部件进行着色。如果该部件不能用两种颜色着色，则返回false。

    bool explore(vector<int>& subsets, vector<vector<int>>& graph, int i) {
        if(subsets[i] == -1) subsets[i] = 0;
        for(int j = 0; j < graph[i].size(); j++) {
            if(subsets[graph[i][j]] != -1) {
                if(subsets[graph[i][j]] == subsets[i]) return false;
                continue;
            }
            subsets[graph[i][j]] = !subsets[i];
            if(graph[graph[i][j]].size() > 0) {
                if(!explore(subsets, graph, graph[i][j])) return false;
            }
        }
        return true;
    }

这是个线性时间算法，复杂度为O（V+E）。

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完整代码

class Solution {
public:
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        vector<int> subsets;
        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) subsets.push_back(-1);
        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
            if(subsets[i] != -1) continue;
            if(!explore(subsets, graph, i)) return false;
        }
        return true;
    }
    bool explore(vector<int>& subsets, vector<vector<int>>& graph, int i) {
        if(subsets[i] == -1) subsets[i] = 0;
        for(int j = 0; j < graph[i].size(); j++) {
            if(subsets[graph[i][j]] != -1) {
                if(subsets[graph[i][j]] == subsets[i]) return false;
                continue;
            }
            subsets[graph[i][j]] = !subsets[i];
            if(graph[graph[i][j]].size() > 0) {
                if(!explore(subsets, graph, graph[i][j])) return false;
            }
        }
        return true;
    }
};

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改进

O(V+E）已经是最快的算法了，但是我们还可以对之前的代码进行简化，使代码更简洁易懂。

这次改进，直接将subsets声明为一个大小为graph.size()，即顶点数的数组，0表示为着色，而1，-1分别表示两种不同的颜色。由于如果当前顶点已经着色，explore在一开始就会返回，因此可以不用在for循环中判断该顶点是否着色。

    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        vector<int> subsets(graph.size());
        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
            if(subsets[i] == 0 && !explore(subsets, graph, i, 1)) return false;
        }
        return true;
    }

explore增加了参数color，如果当前顶点已着色，则说明有环，只需检验当前顶点是否符合规定，否则会陷入死循环。如果没有着色，则给该顶点着色，并且分别检查与该顶点相连的其它顶点。

    bool explore(vector<int>& subsets, vector<vector<int>>& graph, int i, int color) {
        if(subsets[i] != 0) return subsets[i] == color;
        subsets[i] = color;
        for(auto node : graph[i]) {
            if(!explore(subsets, graph, node, -1 * color)) return false;
        }
        return true;
    }

第二种算法与第一种算法有略微的不同，主要是，第二种算法的思路是先规定当前顶点应该有的颜色，然后来检验当前顶点是否符合规定，而第一种则是在exlpore中进行着色，然后检验其后续顶点是否符合规定。当然，复杂度都是O(V + E)。

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改进代码

class Solution {
public:
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        vector<int> subsets(graph.size());
        for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
            if(!explore(subsets, graph, i, 1)) return false;
        }
        return true;
    }
    bool explore(vector<int>& subsets, vector<vector<int>>& graph, int i, int color) {
        if(subsets[i] != 0) return subsets[i] == color;
        subsets[i] = color;
        for(auto node : graph[i]) {
            if(!explore(subsets, graph, node, -1 * color)) return false;
        }
        return true;
    }
};