解析函数

一、解析函数的概念

学习目标

• 会用求导定义公式求导
• 函数在一点解析的定义
• 函数在区域解析的定义
• 函数可导与解析的关系（一点与区域）
• 会判别函数的解析性
• 奇数的定义以及与不可导点的关系
• 会求函数的奇点

1、复变函数的导数

    定义： 设函数 $w=f(z)$ 定义与区域 $D$. $z_0$ 为 $D$ 中的一点，点 $z_0+\Delta z$ 不出 $D$ 的范围. 如果极限 $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z}$存在，那么就说 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导. 这个极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的导数,记作 $f^{'}(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z}$
应当注意：定义中 $\Delta z\rightarrow 0$ 的方式是任意的，对任意方向都要存在

2、解析函数的概念

    在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是所谓解析函数.
    定义：如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的领域内处处可导，那么称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析. 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，那么称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，或称 $f(z)$ 是 $D$ 内的一个解析函数.
    如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，那么称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点.
    由定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高的多.
    例题：研究函数 $w=\frac{1}{z}$ 的解析性
$解$：
    因为 $w$ 在复平面内除点 $z=0$ 外处处可导，且 $\frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^2}$所以在除 $z=0$ 外的复平面内，函数 $w=\frac{1}{z}$ 处处解析，而 $z=0$ 是它的奇点.
    根据求导法则，不难证明：
    定理   
         $1）$在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商(分母不为零)在 $D$ 内解析.
         $2）$设函数 $h=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $D$ 内解析，函数 $w=f(h)$ 在 $h$ 平面内的区域 $G$ 内解析. 如果对 $D$ 内的每一点 $z$，函数 $g(z)$ 的对应值 $h$ 都属于 $G$,那么复合函数 $w=f[g(z)]$ 在 $D$ 内解析.

    从这个定理可以推知，所有多项式在复平面内是处处解析的，任何一个有理分式函数 $\frac{P(z)}{Q(z)}$ 在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的奇点.

二、解析函数的充要条件

学习目标

• 会 $C-R$ 条件判别函数的可导性与解析性
• 掌握求导公式
  

1、可导充要性

    定理一：设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 定义在区域 $D$ 内，则 $f(z)$ 在 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 可导的充要条件是： $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，并且在该点满足柯西-黎曼 $(C-R)$方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
    可以得到函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在点 $z=x+iy$ 处的导数公式： $f^{'}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$

2、解析充要性

    定理二：函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内解析的充要条件是： $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

例题：判定函数 $w=zRe(z)$ 在何处可导，在何处解析：
    由 $w=zRe(z)=x^2+ixy$，得 $u=x^2，v=xy$，所以 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x，\frac{\partial u}{\partial y}=0$ $\frac{\partial v}{\partial x}=y，\frac{\partial v}{\partial y}=x.$容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当 $x=y=0$ 时，它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在 $z=0$ 可导，但在复平面内任何地方都不解析.

三、初等函数

学习目标

• 指数函数（定义，周期性，解析性）
• 对数函数（定义，解析性，性质）
• 幂函数（定义，解析性）
• 三角函数（正弦函数与余弦函数的定义，解析性，周期性，非有界性）

1、指数函数

    复变数 $z$ 的指数函数满足下列三个条件：
     $1）$ $f(z)$在复平面内处处解析;
     $2）$ $f^{'}(z)=f(z)$;
     $3）$当 $Im(z)=0$ 时， $f(z)=e^x$，其中 $x=Re(z)$.
记作 $exp(z)=e^z=e^x(cosy+isiny)$
    满足加法定理： $e^{z_1}·e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
    由加法定理：我们可以推出 $exp(z)$ 的周期性，他的周期是 $2k\pi i$，即 $e^{\pi+2k\pi i}=e^z·e^{2k\pi i}=e^z$
其中 $k$ 为任何整数，这个性质是实变指数函数 $e^z$ 所没有的.

2、对数函数

    对数函数 $w=f(z)$ 为多值函数，并且每两个值相差 $2\pi i$ 得整数倍，记作 $Lnz=ln|z|+iArgz.$如果规定上式中的 $Argz$ 取主值 $argz$ ，那么 $Lnz$ 为一单值函数，记作 $lnz$ ,称为 $Lnz$ 的主值. 这样，我们就有 $lnz=ln|z|+iargz$而其余各个值可由 $Lnz=lnz+2k\pi i$表示. 其中 $k=\pm1,\pm2,···$
即 $Lnz=ln|z|+iargz+2k\pi i$
基本性质：
$Ln(z_1z_2)=Lnz_1-Lnz_2$ $Ln\frac{z_1}{z_2}=Lnz_1-Lnz_2$但是： $ln(z_1z_2)\neq lnz_1+lnz_2$ $ln\frac{z_1}{z_2}\neq lnz_1-lnz_2$ $Lnz^n\neq nLnz（n>1）$ $Ln\sqrt[n]{z}\neq \frac{1}{n}Lnz(n>1)$ $\underbrace{iArgz+iArgz}_{2argz+2(k_1+k_2)\pi} \neq \underbrace{ 2iArgz}_{2(argz+2k\pi)}$
解析性
    在除去原点和负实轴的 $z$ 平面处处解析

3、幂函数

    定义： $a^b=e^{bLna}$
    多值性：由于 $Lna$ 是多值的，因而 $a^b$ 也是多值的
    解析性：在除去原点和负实轴的复平面内 $z^b$ 处处解析，且 $(z^b)^{'}=bz^{b-1}$

4、三角函数

    定义：由 $e^{iy}=cosy+isiny$ $e^{-iy}=cosy-isiny$把这两式相加与相减，分别得到 $cosy=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}，siny=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$现在把余弦和正弦函数的定义推广到自变数取复值得情形，我们定义： $cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}，sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
    周期性：余弦函数和正弦函数都是以 $2\pi$ 为周期得周期函数.
    解析性：都是复平面内的解析函数
    非有界性：与实函数完全不同的是 $sinz,cosz$ 无界，当 $y\rightarrow0时，|siniy|\rightarrow\infty，|cosiy|\rightarrow\infty$.