信号和系统的频域分析题目

正交集

1.设{ $\Phi_i(t)$} $_{i=1}^N$是N个信号的一组正交集，即：
$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi_i(t)\Phi^*_j(t)dt\begin{cases} 0\quad i{=}\mathllap{/\,}j \\ 1 \quad i=j \end{cases} 1\leq i,j\leq N$
并设 $x(t)$是任意信号，假定 $\hat{x}(t)=\sum_{i=1}^{N}a_i\Phi_i(t)$是根据{ $\Phi_i(t)$} $_{i=1}^N$对 $x(t)$的线性近似。我们感兴趣的问题是寻找 $a_i$使：
$\epsilon^2=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)-\hat{x}(t)|^2dt$
最小化。
1.证明最小化的 $a_i$满足：
$a_i=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\Phi^*_i(t)dt$
2.证明按如上条件选择 $a_i$则有：
$\epsilon^2_{min}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt - \sum_{i=1}^{N}|a_i|^2$

解：

$\begin{aligned} \epsilon^2 &= \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)-\hat{x}(t)|^2dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}[(x(t)-\sum_{i=1}^N a_i\Phi_i(t))(x^{*}(t) - \sum_{i=1}^N a^{*}_i \Phi_i^{*}(t))]dt \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^{*}(t)dt -\int_{-\infty}^{\infty}a_i^{*}\sum_{i=1}^N\Phi_i^{*}(t)x(t)dt-\int_{-\infty}^{\infty}a_i\sum_{i=1}^N \Phi_i(t)x^{*}(t)dt +\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_j^{*}\Phi_i(t)\Phi_j^{*}(t)dt \end{aligned}$

而：
$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_j^{*}\Phi_i(t)\Phi_j^{*}(t)dt &= \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_j^{*}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)\Phi_j^{*}(t)dt \\ \end{aligned}$
由于
$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi_i(t)\Phi^*_j(t)dt\begin{cases} 0\quad i{=}\mathllap{/\,}j \\ 1 \quad i=j \end{cases} 1\leq i,j\leq N$

所以
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Na_ia_j^{*}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)\Phi_j^{*}(t)dt &= \sum_{i=1}^{N}a_ia_i^{*} \end{aligned}$

则
$\begin{aligned} \epsilon^2 &= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^{*}(t)dt -\int_{-\infty}^{\infty}a_i^{*}\sum_{i=1}^N\Phi_i^{*}(t)x(t)dt-\int_{-\infty}^{\infty}a_i\sum_{i=1}^N \Phi_i(t)x^{*}(t)dt +\sum_{i=1}^{N}a_ia_i^{*} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t) \vert ^2dt +\sum_{i=1}^N(a_i-\int_{-\infty}^{\infty}a_i \Phi_i(t)x^{*}(t)dt)(a_i-\int_{-\infty}^{\infty}a_i\Phi_i(t)x^{*}(t)dt)^{*}-\sum_{i=1}^N\vert \int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt\vert^2 \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t) \vert ^2dt - \sum_{i=1}^N\vert \int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt\vert^2 + \sum_{i=1}^N\vert a_i-\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t))^{*}dt \vert^2 \end{aligned}$

前面两项与 $a_i$无关，后面一项显而易见，当 $a_i=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt$时， $\epsilon^2$有最小值。

把 $a_i=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt$代入 $\epsilon^2$中，得到

$\begin{aligned} \epsilon^2 &= \int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t) \vert ^2dt - \sum_{i=1}^N\vert \int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt\vert^2\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t) \vert ^2dt-\sum_{i=1}^N\vert a_i \vert^2 \quad \quad(a_i=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_i(t)x^{*}(t)dt) \end{aligned}$

傅里叶级数

1.确定下列信号的傅里叶级数展开。
1). $x_1(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\varLambda(t-2n)$

2). $x_2(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\varLambda(t-n)$

3). $x_3(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{t-n}, n\leq t<n+1$

4). $x_4(t)=cost+cos2.5t$

5). $x_5(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\varLambda(t-n)u(t-n)$

6). $x_6(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\delta(t-nT)$

7). $x_7(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta^{'}(t)$

8). $x_8(t)=|cos2\pi f_0t|$(全波整流器输出)

9). $x_9(t)=cos2\pi f_0t +|cos2\pi f_0t|$(半波整流器输出)