神经网络与机器学习第3版学习笔记
-初学者的笔记，记录花时间思考的各种疑惑
第一章 Rosenblatt感知器
１、第32页
1.1 为什么如果第n次迭代时的内积存在符号错误，第n+1次迭代内积的符号就会正确？
已知 $\eta \left( n \right) X^T\left( n \right) X\left( n \right) >\left| W^T\left( n \right) X\left( n \right) \right|$ ······················································①
(1)假设$X\left( n \right) \in \varphi \left( 1 \right) $，即正确的内积结果大于0：$W^{\begin{array}{c} T\\\end{array}}\left( n \right) X\left( n \right) >0$ 。
$\because $第n次迭代时的内积存在符号错误
$\therefore W^{\begin{array}{c} T\\\end{array}}\left( n \right) X\left( n \right) <0$
$\because X\left( n \right) \in \varphi \left( 1 \right) \,\,\land W^{\begin{array}{c} T\\\end{array}}\left( n \right) X\left( n \right) <0$
$\therefore W\left( n+1 \right) =W\left( n \right) +\eta \left( n \right) X\left( n \right) $ //加上一个正数，使下次内积增大（P30的式1.6）
$\therefore W^T\left( n+1 \right) =W^T\left( n \right) +\eta \left( n \right) X^T\left( n \right) $
$\therefore W^T\left( n+1 \right) X\left( n \right) =W^T\left( n \right) X\left( n \right) +\eta \left( n \right) X^T\left( n \right) X\left( n \right) $
又$\because ①\Rightarrow \eta \left( n \right) X^T\left( n \right) X\left( n \right) >-W^T\left( n \right) X\left( n \right) $
$\therefore W^T\left( n+1 \right) X\left( n \right) >0$
即：第n+1次迭代内积的符号正确。
(2)同理可证当“$X\left( n \right) \in \varphi \left( 2 \right) \land W^{\begin{array}{c} T\\\end{array}}\left( n \right) X\left( n \right) >0$”时，第n+1次迭代内积的符号正确。
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2.1 关于“Cij”
Cij的通俗解释：$x\in \varphi \left( i \right) $ 却错误分类到$\varphi \left( j \right) $的风险。
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3.1 为什么C11<C21&C22<C12?
因为错误分类的风险更大。
3.2 最优分类策略的由来。
要使分类策略最优，即：实现风险最小。
所以，最优分类为，使得$\int_{\mathscr{X}1}{A\left( x \right) dx}$最小的A（A为1.27中的代数式）。
那么，把所有使得$A\left( x \right) <0$的x都分配给$\mathscr{X}1$，可使得上式最小。
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4.1 式1.33的简化过程
$-\frac{1}{2}\left( X-\mu _1 \right) ^TC^{-1}\left( X-\mu _1 \right) +\frac{1}{2}\left( X-\mu _2 \right) ^TC^{-1}\left( X-\mu _2 \right) $
= $-\frac{1}{2}X^TC^{-1}X+\frac{1}{2}X^TC^{-1}\mu _1+\frac{1}{2}\mu _1^TC^{-1}X-\frac{1}{2}\mu _1^TC^{-1}\mu _1$
$\,\,+\frac{1}{2}X^TC^{-1}X-\frac{1}{2}X^TC^{-1}\mu _2-\frac{1}{2}\mu _2^TC^{-1}X+\frac{1}{2}\mu _2^TC^{-1}\mu _2$
= $\,\,\frac{1}{2}X^TC^{-1}\left( \mu _1-\mu _2 \right) +\frac{1}{2}\left( \mu _1^T-\mu _2^T \right) C^{-1}X$
$+\frac{1}{2}\left( \,\,\mu _2^TC^{-1}\mu _2-\mu _1^TC^{-1}\mu _1 \right) $
= $\,\,\frac{1}{2}X^TC^{-1}\left( \mu _1-\mu _2 \right) +\frac{1}{2}\left( \mu _1-\mu _2 \right) ^TC^{-1}X$
$+\frac{1}{2}\left( \,\,\mu _2^TC^{-1}\mu _2-\mu _1^TC^{-1}\mu _1 \right) $
$\because X,C,\mu _1,\mu _2$都是一维向量，且 一维向量X一维向量=常数
$\therefore X^TC^{-1}\left( \mu _1-\mu _2 \right) =\left( \mu _1-\mu _2 \right) ^TC^{-1}X$
$\therefore $原式=$\,\,\left( \mu _1-\mu _2 \right) ^TC^{-1}X+\frac{1}{2}\left( \,\,\mu _2^TC^{-1}\mu _2-\mu _1^TC^{-1}\mu _1 \right) $
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5.1 实验所需要的感知器参数中：$\beta =50$ ？
因为区域A的输入向量的最大欧几里得范数应该为大圆半径10，
所以 $\beta =10^2=100$。
5.2 中文版中对于“权向量大小m=20”的描述，在原版中不存在，可忽略。
6、双月模型的计算机实验
见以下开源代码：
（作者3步迭代就收敛，可我的代码大约需要几百步才能收敛，
由于是随机产生的输入向量，收敛步数应该得看脸，好在都能瞬间完成
并生成可分析数据）
https://gitee.com/none_of_useless/nnalm
思路：
①创建感知器。接受输入向量及初始权值，输出收敛后的权值。
②创建双月模型，生成训练与验证数据。