[BZOJ3549]-[ONTAK2010]Tower / [BZOJ1233]-[Usaco2009Open]干草堆tower-性质+决策单调性dp

说在前面

并没有什么想说的，但是要保持格式=w=

题目

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题面

给定 $N$ 个积木，编号为 $1\cdots N$ ，每个积木高度为 $1$ ，宽度为 $w_i$ ，你可以把若干个积木放在一层上，堆成若干层，要求满足两个条件：

对于任意一层的积木，他的宽度之和要小于等于他下面那一层的积木（最底层除外）。
不允许编号小的放在编号大的的积木上面。

请求最多能够堆多少层，每个积木都要使用
范围： $N\leq 10^5$ ， $w_i\leq 10^4$

输入输出格式

输入格式：
第一行一个整数 $N$ ，含义如题
接下来一行 $N$ 个整数，第 $i$ 个数字为 $w_i$

输出格式：
输出一行一个整数表示答案

解法

这题，me一开始想了个贪心，然后WA了…
继续想，然而没想出来，于是去看了题解… Bfk题解传送门

所以这个题是需要发现一个性质的！~~这样一来，问题也就变得容易了。~~然而me自己觉得me并不能发现这个性质
看了好久才明白其正确性，写一点me对zkw证明方法的注解…

现在有两座塔，一个高度最大，设为 $A$ ，另一个「从低到高」顺序下，每层宽度尽量小，设为 $B$ （ $B$ 的高度比 $A$ 小）
首先，显然有 $h_A\leq h_B$ ，并且 $A$ 最底层宽度比 $B$ 大
因为 $h_A\leq h_B$ ，所以肯定在某一层 $A$ 比 $B$ 宽度要小（ $A$ 全程比 $B$ 宽的情况是不可能出现的，除非 $A$ 比 $B$ 多了几块积木），也一定存在一层，此时刚好 $B$ 用的比 $A$ 多
所以就把 $B$ 刚好用的比 $A$ 多的那一层之上的部分，换成 $A$ 的，显然会更细一些，并且高度也和 $A$ 一样

所以，只要存在比「宽度最小塔」更高的，就可以按照如上操作替换，最后就会发现，「宽度最小塔」就是最高的那一个

下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int N , sum[100005] , dp[100005] ;
int cnt[100005] , val[100005] ;

int que[100005] , fr , ba ;
void solve(){
    val[N+1] = sum[N] ;
    fr = 1 , ba = 0 , que[++ba] = N + 1 ;
    for( int i = N ; i ; i -- ){
        while( ba > fr && val[ que[fr+1] ] >= sum[i-1] ) fr ++ ;
        dp[i] = sum[ que[fr]-1 ] - sum[i-1] ;
        cnt[i] = cnt[ que[fr] ] + 1 ;
        val[i] = sum[i-1] - dp[i] ;
        while( ba >= fr && val[ que[ba] ] <= val[i] ) ba -- ;
        que[++ba] = i ;
    } printf( "%d" , cnt[1] ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d" , &N ) ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
        scanf( "%d" , &sum[i] ) , sum[i] += sum[i-1] ;
    sum[N+1] = sum[N] ;
    solve() ;
}