题目描述
给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。
一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
示例 1:
输入: S ="rabbbit", T ="rabbit" 输出: 3解释: 如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到"rabbit" 的方案。 (上箭头符号 ^ 表示选取的字母)rabbbit^^^^ ^^rabbbit^^ ^^^^rabbbit^^^ ^^^
示例 2:
输入: S ="babgbag", T ="bag" 输出: 5解释: 如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到"bag" 的方案。 (上箭头符号 ^ 表示选取的字母)babgbag^^ ^babgbag^^ ^babgbag^ ^^babgbag^ ^^babgbag^^^
思路:一开始遇到子集，子序列问题，想到的是用回溯方法（详见回溯法求子集）求出S中所有长度和T相等的子集，然后与T比较得到相同的数量。
import java.util.ArrayList;
public class Solution {
int num=0;
int flag=1;
public int numDistinct(String S, String T) {
if(S==null||T==null)
return 0;
int len1=S.length();
int len2=T.length();
if(len2>len1){
return 0;
}
ArrayList<Character> list=new ArrayList<Character>();
backtracking(S,T,len2,0,list);
return num;
}
public void backtracking(String S,String T,int k,int start,ArrayList<Character> list){
if(k<0){
return;
}
else if(k==0){
for(int i=0;i<T.length();i++){
if(list.get(i)!=T.charAt(i)){
flag=0;
break;
}
}
if(flag==1){
num++;
}
flag=1;
return;
}
else{
for(int i=start;i<S.length();i++){
list.add(S.charAt(i));
backtracking(S,T,k-1,i+1,list);
list.remove(list.size()-1);
}
}
}
}方法能在LeetCode上通过，但45 / 63 个通过测试用例，显示时间超时，当字符串长度增大时求解的耗时也增大，因此无法在规定时间内完成。
故下文采用动态规划思想：（遇到这类问题最好方法就是列出表格，结合数据分析动态规划递推方程）
我们设置一个二维数组dp(i)(j)来记录长度为i的字串在长度为j的母串中出现的次数，这里长度都是从头算起的，而且遍历时，保持子串长度相同，先递增母串长度，母串最长时再增加一点子串长度重头开始计算母串。
首先我们先要初始化矩阵，当子串长度为0时，所有次数都是1，当母串长度为0时，所有次数都是0。当母串子串都是0长度时，次数是1（因为都是空，相等）。接着，如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母不同，说明新加的母串字母没有产生新的可能性，可以沿用该子串在较短母串的出现次数，所以dp(i)(j) = dp(i-1)(j)。如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母相同，说明新加的母串字母带来了新的可能性，我们不仅算上dp(i-1)(j)，也要算上新的可能性。那么如何计算新的可能性呢，其实就是在既没有最后这个母串字母也没有最后这个子串字母时，子串出现的次数，我们相当于为所有这些可能性都添加一个新的可能。所以，这时dp(i)(j) = dp(i-1)(j) + dp(i-1)(j-1)。下图是以rabbbit（i）和rabbit（j）为例的矩阵示意图。计算元素值时，当末尾字母一样，实际上是左方数字加左上方数字，当不一样时，就是左方的数字。
示意图
public class Solution {
public int numDistinct(String S, String T) {
if(S==null&&T==null)
return 1;
if(S==null&&T!=null)
return 0;
if(S!=null&&T==null)
return 1;
int[][]dp=new int[S.length()+1][T.length()+1];
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=S.length();i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=T.length();i++){
dp[0][i]=0;
}
for(int i=1;i<=S.length();i++){
for(int j=1;j<=T.length();j++){
if(S.charAt(i-1)!=T.charAt(j-1)){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
else{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];
}
}
}
return dp[S.length()][T.length()];
}
}