【信号与系统学习笔记】—— 离散时间非周期信号的傅里叶变换 （DTFT)【概念+性质 一站式全解析】

当我们学习到离散时间非周期信号的傅里叶变换的时候，我们已经走到了频域分析的尾声。回顾之前所学，我们发现，其实连续时间和离散时间的傅里叶变换是有诸多相似之处的，但是两者之间却又有某些重大的不同。那么，下面我们就一起来看看 DTFT。

一、基本公式

我们先回顾一下对于离散时间的周期方波，它的 DFS 是长什么样的：

N 表示周期，N1 表示脉冲宽度。我们都可以看到，对于 DFS 而言，它是以 N 为周期的

当周期 N 趋于无穷时，周期信号就演变成了非周期信号。频谱也变成了上述 DFS 的包络。那么这就是傅里叶变换了。

---

离散时间非周期信号的傅里叶正变换： $X(e^{jω}) = \sum_{n - ∞}^{+∞}x[n]e^{-jωn}$
离散时间非周期信号傅里叶逆变换公式： $x[n] =\frac{1}{2π} \int_{2π}X(e^{jω})e^{jωn}dω$

我们对比这两幅图，思考下面的一个问题：离散时间傅里叶变换得到的 $X(e^{jω})$ 是否具有周期性？
—— 答案是：YES！ $X(e^{jω})$ 是以 $2π$ 为周期的。

二、离散时间傅里叶变换的收敛性

大家回顾一下，我们在上一篇 $Blog$ 里面说过：对于 DFS 来说，它是一定收敛的，所以不存在收敛条件的问题。但是对于 DTFT 而言，我们有下面两个条件，满足其中之一即可收敛： $\sum_{n = -∞}^{+∞}|x[n]|^2 < ∞\\ \space\\ \sum_{n=-∞}^{+∞}|x[n]| < ∞$

三、常见信号的 DTFT

3.1 单边指数信号： $a^nu[n]$

它的频谱我们是必须要记住的： $X(e^{jω}) = \frac{1}{1 - ae^{-jω}}$
不过这里需要区别于连续时间的单边复指数信号 $e^{-at}u(t)$，它的频谱是： $X(jω) = \frac{1}{a + jω}$

对于这个 $X(e^{jω}) = \frac{1}{1 - ae^{-jω}}$ 我们还是有很多东西需要挖掘一下的：首先，这个频谱是一个复数，那么，我们需要从幅值和相角两个方面来讨论。其二、这个 $a$ 的取值也会使得频谱形状有较大的改变。

它的幅度我们可以表示为： $|X(e^{jω})| = \frac{1}{\sqrt{1+a^2 - 2acosω}}$
相位这里不再赘述，我们下面看看在 $0 < a < 1$ 的情况下的幅频特性和相频特性：

通过幅频特性曲线我们可以发现：该频谱在 频率为 $2kπ$ 附近有较大的幅值，这就是所谓的低通滤波器（注意了：我们认为频率在 $2kπ$ 附近的，都可以称之为低频成分），（频率在 $kπ$ 附近的，可以称之为高频成分！）

下面，我们再看看当 $-1 < a < 0$ 时的频响：

我们看到，只有在频率在 $kπ$ 附近时，幅度才有较大的值，这就变成了高通滤波器！

3.2 单位冲激函数

单位冲激函数 $δ[n]$ 的傅里叶变换就是幅度为 1 的直流信号

3.3 直流信号

$x[n] = 1$ 的傅里叶变换为： $\sum_{k=-∞}^{+∞}2πδ(ω - 2kπ)$

3.4 门信号

这个大家也不需要特别记忆，但是万一遇到了要会推导。（这里的推导还是需要一定的技巧的）
对于： $x[n] = \begin{cases} 1 \quad |n| ≤ N_1\\ 0 \quad |n| > N_1 \end{cases}$
首先，我们直接上公式： $\begin{aligned} X(e^{jω}) &= \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]e^{-jωn}\\ &=\sum_{n = -N_1}^{+N_1}x[n]e^{-jωn}\\ \end{aligned}$
下面我们令： $m = n + N_1$，那么带入上式，就得到： $\begin{aligned} X(e^{jω}) &= \sum_{m=0}^{2N_1}e^{-jω(m-N_1)}\quad(x[n] = 1)\\ & = e^{jωN_1}\sum_{m=0}^{2N_1}e^{-jωm} \end{aligned}$
对于： $\sum_{m=0}^{2N_1}e^{-jωm}$ ，我们就可以看成是一个等比数列求和了：
因此，我们得到下面的一系列推导：

大家特别注意一下：提取因子的技巧（提取半频率）

---

3.5 离散时间周期信号的傅里叶变换

大家记住这个公式： $X(e^{jω}) = 2π\sum_{k=-∞}^{+∞}a_kδ(ω - k\frac{2π}{N})$

四、DTFT 有别于 CTFT 的几点性质

4.1 时域内插

我们知道，对于连续时间信号而言，假设把它做一定比例的压缩，再做一个拉伸，信号是能够恢复成原来的样子的。但是对于离散时间信号而言，对他的压缩相当于丢掉了一部分信息，那么此时再拉伸是无法变回去的。因此，下面我们看看对于离散时间信号而言，时域内插对 DTFT 有什么影响：

我们定义： $x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[\frac{n}{k}], \quad n为k 的整数倍时\\ 0, \quad n 不是k的整数倍时 \end{cases}$

那么，当 k 是正数的时候，这样的操作就是相当于拉伸。那么我们记住： $x_{(k)}[n] \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(e^{jkω})$

另外，还给了我们一个启发：时域扩展，对频谱而言就表现成压缩。

4.2 频域微分

注意是 “频域”，我们之前学习 CTFT 的时候讲的是时域微分。这里需要区分。我们下面直接给出i性质： $x[n] \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(e^{jω})\\ \space\\ (-jn)x[n] \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{d(X(e^{jω}))}{dω}$

4.3 帕斯瓦尔定理

等式左边是时域信号的能量： $\sum_{n=-∞}^{+∞}|x[n]|^2 = \frac{1}{2π}\int_{2π}|X(e^{jω})|^2dω$

至此，我们关于信号频域分析的系列 $Blog$ 就要告一段落啦！后面的 $Blog$ 将会重点聚焦滤波器、采样、通信系统、拉普拉斯变换等内容。see you！