【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(5):克拉默法则

小知识,大挑战!本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前言

Hello!小伙伴!

非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~

自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称:海轰

标签:程序猿|C++选手|学生

简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语!

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然!

1.7 克拉默法则

内容

含有n个未知数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n 的n个线性方程的方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n (1) \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \tag1

克拉默法则:如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即

D = a 11 . . . a 1 n a 21 . . . a 2 n . . . . a n 1 . . . a n n 0 D=\begin{vmatrix} a_{11} &... & a_{1n}\\ a_{21} & ... &a_{2n}\\ . & &. \\ . & & . \\ a_{n1} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0

那么,方程组(1)就有唯一解

x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , . . . , x n = D n D x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}

其中, D j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) D_j(j=1,2,...,n) 是把系数行列式 D D 中的第j列元素用方程组右端的常数项替代后得到的n阶行列式,

D j = a 11 . . a 1 , j 1 . . b 1 a 1 , j + 1 . . a 1 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . a n , j 1 . . b n a n , j + 1 . . a n n D_j=\begin{vmatrix} a_{11} &..& a_{1,j-1}&..&b_1&a_{1,j+1}&.. & a_{1n}\\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ a_{n1} &..& a_{n,j-1}&..&b_n&a_{n,j+1}&.. & a_{nn}\\ \end{vmatrix}

定理4

如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0 D \neq 0 ,那么(1)一定有解,且解是唯一的

定理4的逆否定理

如果线性方程组(1)无解或有2个不同的解,那么它的系数行列式一定为0

非奇次/奇次线性方程组

奇次线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}

非奇次线性方程组( b 1 b 2 . . . b n b_1,b_2...b_n 不全为0)

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}

对于奇次线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}

x 1 = x 2 = . . . = x n = 0 x_1=x_2=...=x_n=0 一定是它的解,这个解叫做零解。若一组解不全为0,则叫做非零解。   奇次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解。

定理5

如果奇次线性方程组的系数行列式 D 0 D \neq0 ,则奇次线性方程组没有非零解。

因为 D 0 D \neq0 ,说明解只有一个,而零解又是一定存在的,那么该解就只能是零解了。 如果奇次线性方程组有非零解,那么它的系数行列式 D = 0 D =0

结语

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

如果您觉得写得可以的话,请点个赞吧

谢谢支持 ❤️

猜你喜欢

转载自juejin.im/post/7018400626392432647

相关文章