题目描述
小蓝在一个 n 行 m 列的方格图中玩一个游戏。
开始时，小蓝站在方格图的左上角，即第 1 行第 1 列。
小蓝可以在方格图上走动，走动时，如果当前在第 r 行第 c 列，他不能走到行号比 r 小的行，也不能走到列号比 c 小的列。同时，他一步走的直线距离不超过 3。
例如，如果当前小蓝在第 3 行第 5 列，他下一步可以走到第 3 行第 6 列、第 3 行第 7 列、第 3 行第 8 列、第 4 行第 5 列、第 4 行第 6 列、第 4 行第 7 列、第 5 行第 5 列、第 5 行第 6 列、第 6 行第 5 列之一。
小蓝最终要走到第 n 行第 m 列。
在图中，有的位置有奖励，走上去即可获得，有的位置有惩罚，走上去就要接受惩罚。奖励和惩罚最终抽象成一个权值，奖励为正，惩罚为负。
小蓝希望，从第 1 行第 1 列走到第 n 行第 m 列后，总的权值和最大。请问最大是多少？
输入描述
输入的第一行包含两个整数 n, m，表示图的大小。
接下来 n 行，每行 m 个整数，表示方格图中每个点的权值。
其中，1≤n≤100，−104 ≤权值≤104 。
输出描述
输出一个整数，表示最大权值和。
输入输出样例
示例 1
| 输入 |
|---|
3 5 -4 -5 -10 -3 17 5 -9 3 -1010 -2 6 -10 -4 |
| 输出 |
|---|
15 |
运行限制
最大运行时间：1s
最大运行内存: 128M
代码（c++）
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<string>
using namespace std;
int arr[110][110];//存储每个点的权值
int av[110][110];//存储从起点到当前位置的最大的总权值
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> arr[i][j];
if(i==1&&j==1)av[1][1] = arr[1][1];//初始化1，1位置
else av[i][j] = -10000;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (i == 1 && j == 1)continue;
for (int k = 0; k <= 3; k++)
{
for (int h = 0; h <= 3; h++)
{
if (h == 0 && k == 0)continue;//对点自身不判断
if (i - k > 0 && j - h > 0 && av[i - k][j - h] + arr[i][j] > av[i][j]) {
//判断自身以外的前面的8个可以到达该位置的点
av[i][j] = av[i - k][j - h] + arr[i][j];
}
}
}
}
}
cout << av[n][m] << endl;
return 0;
}
代码（Java）
import java.util.Scanner;
public class Hello{
public static void main(String[] args){
int n,m;
Scanner scan=new Scanner(System.in);
n=scan.nextInt();
m=scan.nextInt();
int [][]arr=new int[n+1][m+1];//存储每个点的权值
int [][]av=new int[n+1][m+1];//存储从起点到当前位置的最大的总权值
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
arr[i][j]=scan.nextInt();
if(i==1&&j==1){
av[i][j]=arr[i][j];//初始化1，1位置
}
else{
av[i][j]=-10000;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(i==1&&j==1){
continue;
}
for(int k=0;k<=3;k++){
for(int h=0;h<=3;h++){
if(h==0&&k==0){
//对点自身不判断
continue;
}
if(i-k>0&&j-h>0&&av[i-k][j-h]+arr[i][j]>av[i][j]){
//判断自身以外的前面的8个可以到达该位置的点
av[i][j]=av[i-k][j-h]+arr[i][j];
}
}
}
}
}
System.out.println(av[n][m]);
}
}
思路
经典的动态规划的思路，通过记事本的方式记录下来前面的位置的最大的权值，在后续计算的时候不需要重复计算，从而减少计算量。这道题的递推的方式是对当前（i，j）点进行判断时，通过对其前面的可以到达该点的8个点分别判断然后选出最大的到达该点的路径，之后进行存储，然后最终得出终点的最大权值。