【题目链接】
ybt 1941：【07NOIP普及组】Hanoi双塔问题
洛谷 P1096 [NOIP2007 普及组] Hanoi 双塔问题
【题目考点】
1. 递推/递归
2. 高精度
【解题思路】
该问题为汉诺塔问题的变种。可以用递推或递归的方法完成。
解法1：递推
- 递推状态：记
a[i]为将2*i个圆盘从A柱移动到C柱的圆盘移动次数。 - 初始状态：
a[1] = 2。 - 递推关系：要想将2*i个圆盘从A柱移动到C柱，需要先把2*(i-1)个圆盘从A柱移动到B柱，需要移动
a[i-1]次。而后将剩下的2个圆盘从A柱移动到C柱，移动2次。最后把B柱的2*(i-1)个圆盘移动到C柱，需要移动a[i-1]次。所以a[i] = 2*a[i-1] + 2
假设所有变量都是低精度数字，写出代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n, a[205];
cin >> n;
a[1] = 2;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
a[i] = 2 * a[i-1] + 2;
cout << a[n];
return 0;
}
观察递推公式，可知 a i > 2 a i − 1 > 2 2 a i − 2 > . . . > 2 i − 1 a 1 = 2 i a_i > 2a_{i-1} > 2^2a_{i-2}>...>2^{i-1}a_1=2^i ai>2ai−1>22ai−2>...>2i−1a1=2i
题目中n最大为200，那么 a n > 2 n = 2 200 a_n>2^n=2^{200} an>2n=2200，求这个数字的位数： ⌊ l o g 10 2 200 ⌋ + 1 ≈ 62 \lfloor log_{10}2^{200}\rfloor +1\approx 62 ⌊log102200⌋+1≈62，这一定是个基本变量类型无法表示的数字，需要使用高精度数字。
观察低精度代码中，a应该从整型数组变为高精度数字的数组，2*a[i-1]+2中，乘法是高精乘低精的运算，加法是高精加低精的运算。
可以用整型数组表示高精度数字，也可以把整型数组放在结构体中，构建高精度数字类型。也可以构建高精度数字类。
解法2：迭代：
也可以把上述递推代码变递推为迭代，而后将该低精度代码变为高精度。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n, f;
cin >> n;
f = 2;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
f = 2 * f + 2;
cout << f;
return 0;
}
解法2：递归
低精代码为
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solve(int i)
{
if(i == 1)
return 2;
return 2 * solve(i - 1) + 2;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << solve(n);
return 0;
}
把该代码改为高精度代码即可。
【题解代码】
解法1：递推 整型数组表示高精度数字
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
void setLen(int a[], int i)
{
while(a[i] == 0 && i > 1)
i--;
a[0] = i;
}
void Multiply(int a[], int b, int r[])//高精乘低精 r = a * b
{
int c = 0, i;
for(i = 1; i <= a[0]; ++i)
{
r[i] = a[i] * b + c;
c = r[i] / 10;
r[i] %= 10;
}
while(c > 0)
{
r[i] = c % 10;
c /= 10;
i++;
}
setLen(r, i);
}
void Add(int a[], int b)//高精加低精 a += b
{
int c = b, i = 1;
while(c > 0)
{
a[i] += c;
c = a[i] / 10;
a[i] %= 10;
i++;
}
if(i > a[0])
setLen(a, i);
}
void showNum(int a[])
{
for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
cout << a[i];
}
int main()
{
int n, a[205][N] = {
};//a[i]:2*i层汉诺塔从A移动到C的步数
cin >> n;
a[1][0] = 1, a[1][1] = 2;//a[1] = 2;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
Multiply(a[i-1], 2, a[i]);//a[i] = 2*a[i-1];
Add(a[i], 2);//a[i] += 2
}
showNum(a[n]);
return 0;
}
解法2：迭代 结构体表示高精度数字
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct HPN
{
int a[N] = {
};
};
void setLen(int a[], int i)
{
while(a[i] == 0 && i > 1)
i--;
a[0] = i;
}
void Multiply(HPN &a, int b)//高精乘低精 a *= b
{
int c = 0, i;
for(i = 1; i <= a.a[0]; ++i)
{
a.a[i] = a.a[i] * b + c;
c = a.a[i] / 10;
a.a[i] %= 10;
}
while(c > 0)
{
a.a[i] = c % 10;
c /= 10;
i++;
}
setLen(a.a, i);
}
void Add(HPN &a, int b)//高精加低精 a += b
{
int c = b, i = 1;
while(c > 0)
{
a.a[i] += c;
c = a.a[i] / 10;
a.a[i] %= 10;
i++;
}
if(i > a.a[0])
setLen(a.a, i);
}
void showNum(HPN a)
{
for(int i = a.a[0]; i >= 1; --i)
cout << a.a[i];
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
HPN f;
f.a[0] = 1, f.a[1] = 2;//f = 2;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
Multiply(f, 2);//f *= 2
Add(f, 2);//f += 2
}
showNum(f);
return 0;
}
解法3：递归 高精度数字类
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct HPN
{
int a[N];
HPN()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
HPN(string s)
{
a[0] = s.length();
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
a[i] = s[a[0] - i] - '0';
}
int& operator [] (int i)
{
return a[i];
}
void setLen(int i)
{
while(a[i] == 0 && i > 1)
i--;
a[0] = i;
}
HPN operator * (int b)//a *= b
{
HPN r;
int c = 0, i;
for(i = 1; i <= a[0]; ++i)
{
r[i] = a[i] * b + c;
c = r[i] / 10;
r[i] %= 10;
}
while(c > 0)
{
r[i] = c % 10;
c /= 10;
i++;
}
r.setLen(i);
return r;
}
HPN operator + (int b)
{
HPN r = *this;
int c = b, i = 1;
while(c > 0)
{
r[i] += c;
c = r[i] / 10;
r[i] %= 10;
i++;
}
if(i > r[0])
r.setLen(i);
return r;
}
void show()
{
for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
cout << a[i];
}
};
HPN solve(int i)
{
if(i == 1)
return HPN("2");
return solve(i - 1) * 2 + 2;//高精乘低精 高精加低精
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
HPN r = solve(n);
r.show();
return 0;
}