【学习总结】VIO初始化学习1：Monocular Visual–Inertial State Estimation With Online Initialization and Camera–IMU

最近看了一篇论文，很是头大，大概看懂了个所以然。记录一下。
论文：Monocular Visual–Inertial State Estimation With Online Initialization and Camera–IMU Extrinsic Calibration
作者：Zhenfei Yang, Shaojie Shen.

背景知识

VIO初始化：https://blog.csdn.net/shyjhyp11/article/details/115403769

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论文的简要概括：

首先采用手眼标定的思想，估计外参的旋转；
已知旋转，忽略bias的变化，同时标定：速度、重力方向、特征点深度、平移；
进一步精细优化；
采用一种边缘化策略，保证滑窗大小和信息保留。

论文详细解释

IMU积分、预积分等相关内容

公式（1）：IMU的直接积分
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公式（2）：加速度项产生的位置变化 $\alpha$ ，速度变化 $\beta$ ，角速度产生的角度变化 $R_{b_{k+1}}^{b_k}$

公式（3）：（1）的重写

目标

估计所需要的状态量：所有IMU时刻的平移、速度、重力方向 $x_k$ ，以及相机和IMU外参 $p_c^b$ ，以及特征点的深度信息 $\lambda$
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旋转量估计

估计前首先通过视觉建立了一个初步的地图，因此可以通过特征匹配结果，得到两帧间 Camera 的旋转量；
再通过 IMU 的积分得到IMU的旋转量（由于时间较短，忽略了bias等变换）

此时就是求解公式（4）：这是一个手眼标定的基本公式，解法也相对简单，看论文即可。另外，加了一项根据旋转估值误差的权重，Huber norm。
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速度、重力方向、特征点深度、相机IMU平移估计

核心公式（11）：第一项是先验项的约束，第二项是IMU的，第三项是相机的。下面展开介绍。

首先在之前，作者假设，下面所有的旋转量都是已知的，包括camera和imu的旋转（上面已计算），和imu在不同时刻间的旋转（公式2、3提供）。
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这部分内容其实写的有点乱，真的搞了半天才大概理解在干嘛。首先看相机的误差项：（17）（18）
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（17）中的 0 表达的很奇怪。但看后面的可以理解作者想表达的意思。
首先对于在 $c_i$ 帧首次观测到的特征点 $l$ ，它被 $c_j$ 这一帧观测到了，此时建立一个约束。通过赋予深度 $\lambda_l$ ，从camera转到base(IMU)下，在通过IMU一系列的积分求得的旋转增量得到 j 时刻的IMU位姿，再转换回camera系。此时，应该和 $c_j$ 下观测到的是一致的，那么这里的 $M$ 就是用于构建视觉误差。
理论上如果外参（的平移量）和深度（ $\lambda$ ）计算正确，（17）这个式子应该为0。这就是（17）想表达的含义。那么我们让这个式子等于0，就能求出来准确的平移量和深度！

基于这个思想，再看IMU项：式（12）
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式（12）是约束了：速度项和重力方向。
（12）的第三行，旧的重力方向经过旋转后，应该新的一致，误差为0，因此约束了重力的attitude。
第二行和第一行，同时约束了速度项。
因此，最小化（12）即可求出速度和重力方向。

但是（11）还有两个东西没有提到，一个是状态量 $X$ 前面的 $H$ ，还有右下角的 $P$ 矩阵。
论文中没有显示的给出 $H$ 的形式，但可以根据式（10）自己写出来吧。
右下角的 $P$ ，是协方差矩阵，根据IMU的噪声和相机成像的噪声，得到。详见论文。

式（12）的求解

作者指出，式（12）可以写成式（21）的形式，直接解析求解，而不需要迭代。这里就需要涉及上面提到的 $H$ 了。
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进一步细化

上述的求解，只是一些粗糙的计算，例如忽略了误差传递等。此时要优化的是式（28）
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后面就忽略了吧，就看不懂了……

后记

哎，IMU这部分硬着头皮啃吧，之前多少年都不想深究，还是绕不开。