B1045/A1101 快速排序（25 分)（思想类似B1040题）（处理超时的问题时的一些技巧与算法）（活用递推）

1045 快速排序（25 分)

著名的快速排序算法里有一个经典的划分过程：我们通常采用某种方法取一个元素作为主元，通过交换，把比主元小的元素放到它的左边，比主元大的元素放到它的右边。给定划分后的 N 个互不相同的正整数的排列，请问有多少个元素可能是划分前选取的主元？

例如给定 $N = 5$, 排列是1、3、2、4、5。则：

1 的左边没有元素，右边的元素都比它大，所以它可能是主元；
尽管 3 的左边元素都比它小，但其右边的 2 比它小，所以它不能是主元；
尽管 2 的右边元素都比它大，但其左边的 3 比它大，所以它不能是主元；
类似原因，4 和 5 都可能是主元。

因此，有 3 个元素可能是主元。

输入格式：

输入在第 1 行中给出一个正整数 N（≤105）；第 2 行是空格分隔的 N 个不同的正整数，每个数不超过 109。

输出格式：

在第 1 行中输出有可能是主元的元素个数；在第 2 行中按递增顺序输出这些元素，其间以 1 个空格分隔，行首尾不得有多余空格。

输入样例：

5
1 3 2 4 5

输出样例：

3
1 4 5

思路：

直接暴力会超时。

考虑元素间的大小的继承关系。假定序列为A，令数组leftmax和rightmin分别为每一位左边最大的数和右边最小的数（不含本位），即leftmax[i]表示A[0]~A[i-1]的最大值，从左向右遍历序列A（令leftmax[0]=0），由于leftmax[i-1]表示A[0]~A[i-2]的最大值，因此如果A[i-1]比leftmax[i-1]大，说明leftmax[i]等于A[i-1]，若小，则说明leftmax[i]等于leftmax[i-1]。

右侧相同的道理。

接着就可以判断哪些是主元了。遍历A数组，若leftmax[ i ]<A[ i ]且rightmin[ i ]>A[ i ],那么A[ i ]就是主元。

代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 100010
#define INF 0x3fffffff//一个很大的数 

int a[MAX],leftmax[MAX],rightmin[MAX];//a为序列，leftmax和rightmin分别为每一位左边最大的数和右边最小的数
int ans[MAX],num=0;//ans记录主元，num为主元个数

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	leftmax[0]=0;//a[0]左边没有比他大的数
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		leftmax[i]=max(leftmax[i-1],a[i-1]);//由i-1推出i 
	}
	rightmin[n-1]=INF;//a[n-1]后面没有比他小的数
	for(int i=n-2;i>=0;i--){
		rightmin[i]=min(rightmin[i+1],a[i+1]);
	} 
	for(int i=0; i<n; i++){
		if(leftmax[i]<a[i]&&rightmin[i]>a[i]){
			ans[num++]=a[i];
		}
	}
	printf("%d\n",num);
	sort(ans,ans+num);
	for(int i=0; i<num; i++)
	{
		printf("%d",ans[i]);
		if(i<num-1)
		{
			printf(" ");
		}
	}
	return 0;
}