"Neuf chapitres d'arithmétique" est une monographie de mathématiques écrite par Zhang Cang et Geng Shouchang, dont les résultats sont pour la plupart enterrés. Par exemple, le septième chapitre "La technique du surplus et de la carence" est une contribution importante des anciens mathématiciens chinois. Il a ensuite été transmis à l'ouest via la "Route de la soie" et a été appelé "Algorithme Khitan", puis L'Europe, suivie d'un développement de base La «double gestion» qui est venue est devenue l'un des algorithmes mathématiques classiques en Occident.
"Neuf chapitres d'arithmétique" Volume sept
Profit insuffisant
Zhang Cang, Geng Shouchang
Presse: Le premier type de question, un profit et un déficit.
[1] Il y a aujourd'hui des achats totaux, huit sur personnes, trois en surplus, sept sur personnes, moins de quatre. Combien de personnes et de prix y a-t-il?
Xing a dit: Sept personnes, le prix est de cinquante-trois.
[2] Il y a un total d'achat de poulets aujourd'hui, neuf sur la population, onze excédentaires, six sur la population, moins de seize. Qu'en est-il du nombre de personnes et du prix du poulet?
Xing a dit: Neuf personnes, le prix du poulet est de 70.
[3] De nos jours, il y a des achats totaux (jīn, jade.), La moitié de la population (1 ÷ 2), excédent quatre, moins de la moitié (1 ÷ 3), moins de trois. Quel est le nombre et le prix?
Xing a dit: Quarante-deux personnes, et le prix est de dix-sept.
[4] Aujourd'hui, il y a un total d'achat de bœufs, et sept familles ont un total de cent quatre-vingt-dix, ce qui est moins de trois cent trente, neuf familles ont un total de deux cent soixante-dix, ce qui fait trente. Quel est le nombre et le prix du bétail?
Xing a dit: Cent vingt-six familles, le prix du bétail est de trois mille sept cent cinquante.
La technique du surplus et de l'insuffisance dit: le taux d'achat, le surplus et l'insuffisance sont au fond. Laissez Wei multiplier le taux et croyez que c'est vrai. Combiner surplus et insuffisance est la loi. La vérité est une. Ceux qui se divisent, l'adoptent. Pour ceux qui achètent des choses avec le même surplus et les mêmes déficits, rachètent le taux pour réduire davantage, et le reste est basé sur les conventions et les réalités. Le prix réel est le prix et la loi est le nombre de personnes.
Un des trucs est: le surplus n'est pas vrai. Utilisez le taux de production pour réduire davantage, et le reste est la loi. Une personne peut être gagnée par la vérité. Multipliez-le par le taux, diminuez le profit et augmentez l'insuffisant est le prix.
Presse: Comprenez d'abord quelques notions de base: Taux sortant: Le montant payé par personne. Multiplication dimensionnelle: multiplication croisée. Et: additionnez. Réel: dividende. Méthode: Diviseur. La vérité est une: le dividende divisé par le diviseur est le montant que chaque personne devrait payer.
La première question (basique):
Question 2 (points approximatifs):
La troisième question (points de passage):
Question 4 (d'abord passer des points, puis réduire les points):
Presse: La deuxième catégorie de questions, deux surplus ou deux lacunes.
[5] Il y a un total d'achat d'or aujourd'hui, et les gens en paient 400, gagnant trois mille quatre cents, les gens en payant trois cents, gagnant cent. Combien de personnes et le prix de l'or?
Xing a dit: Trente-trois personnes. Le prix de l'or est de neuf mille huit cents.
[6] Aujourd'hui, il y a un total de gens qui achètent des moutons, dont cinq sont moins de quarante-cinq et sept mais moins de trois. Qu'en est-il du nombre de personnes et du prix des moutons?
Xing a dit: Vingt et une personnes, le prix du mouton est de cent cinquante.
Deux techniques de surplus et deux techniques d'insuffisance disent: le taux d'achat, le surplus et l'insuffisance sont au fond. Laissez Wei multiplier le taux de production, réduire plus par moins et être plus réel. Deux excédents et deux ne suffisent pas pour réduire et réduire davantage, et le maintien est la loi. La vérité est une. S'il y a un point, il passera. Pour ceux qui ont deux surplus et deux défauts, et les mêmes achats, le taux d'achat sera réduit de moins, et le reste sera basé sur le contrat, le prix réel et le nombre de personnes.
La première technique est: le taux d'accession à la propriété, réduire le plus par le moins, et le reste est la loi. Deux surplus, deux défauts, avec de moins en plus, le reste est la réalité. En réalité, le nombre de personnes sera obtenu. Multipliez-le par le taux sortant, réduisez le profit et augmentez le déficit, c'est-à-dire le prix.
Question 5:
Sixième question:
Clic: Le troisième type de question: l'une correspond à un profit, ou l'autre correspond à un de moins.
[7] Aujourd'hui, il y a un total de porcs achetés, une centaine de personnes, une centaine de surplus, des personnes sur quatre-vingt-dix, assez. Demandez le nombre de personnes, combien de prix du porc?
Xing a dit: Dix personnes, neuf cents prix du porc.
[8] Aujourd'hui, il y a un total d'achats de chiens, dont cinq sont moins de quatre-vingt-dix et cinquante, ce qui est suffisant. Qu'en est-il du nombre et du prix des chiens?
Xing a dit: Deux personnes, le prix d'un chien est de cent.
La technique du surplus, adéquate, insuffisante et adéquate dit: prenez le nombre de surplus et de carence comme réel. Fixez le taux d'achat, pour réduire le plus, le reste est la loi. Une personne peut être gagnée par la vérité. Ceux qui demandent des prix obtiennent le prix avec un nombre suffisant de passagers.
Question 7:
Question 8:
[9] Aujourd'hui, il y a du riz dans dix seaux (dix litres font un seau) et le nombre est inconnu. Remplissez-le de millet (riz) et écrasez-le pour obtenir sept seaux de riz. Demandez la géométrie ancienne du riz?
Xing a dit: Deux seaux et cinq litres.
Shu a dit: Afin de faire un profit et pas assez d'art pour le demander, la fausse commande est de deux seaux, moins de deux litres. Lingzhi trois combats, il y a plus de deux litres.
Presse: unité litre. Tous les 10 litres de millet peuvent moudre 6 litres de riz.
Si: Donc le riz 20, ajoutez le maïs 80, le total de riz livre 20 + 48 = 68, moins de 2 litres.
Si: Donc, le riz est de 30, ajoutez le maïs 70, et la livre de riz total 30 + 42 = 72, le bénéfice est de 2 litres.
〔一 零〕 Maintenant Youyuan (yuán, mur.) Mesure neuf pieds de haut. Le melon y pousse et la vigne pousse sept pouces. La vigne pousse sous elle et la vigne pousse un pied dans la journée. Demandez quand les jours se rencontrent? Quelles sont les longueurs des melons et des gourdes?
荅 蛰: 5e, 17e minute Hinogo.
Le melon mesure trois pieds et sept pouces de long, un dix-septième de pouce, et le pot mesure cinq pieds deux pouces de long et seize dix-septième de pouce.
Shu a dit: Laissez la commande pendant cinq jours, moins de cinq pouces. Le sixième jour de Lingzhi, il y a plus d'un pied et deux pouces.
Si: 5 jours, la longueur totale de la vigne est: 7 × 5 + 10 × 5 = 85-90 = moins de 5 pouces.
Si: 6 jours, la longueur totale de la vigne est: 7 × 6 + 10 × 6 = 102-90 = surplus de 12 pouces.
Calcul de la rencontre du melon et de la vigne par la méthode du surplus et de la carence
[11] Il y a un jour Pusheng aujourd'hui, long de trois pieds. Wan (guān) pousse un pied par jour. L'anniversaire de Pu est la moitié (plus de la moitié le lendemain, etc.), l'anniversaire de Wan est doublé (doublé le deuxième jour, et ainsi de suite). Demandez combien de temps attendre?
Xing a dit: Sixième de deux et treize minutes.
Chacun mesure quatre pieds huit pouces de long et six treizième pouces de long.
Shu a dit: laissez la commande pendant deux jours, moins d'un pied et cinq pouces. Le troisième jour de Lingzhi, il y avait plus d'un pied et demi.
Si: 2 jours, Pu 30 + 15 = 45; Wan 10 + 20 = 30; moins de 15 pouces.
Si: le 3, Pu 30 + 15 + 7,5 = 52,5; Wan 10 + 20 + 40 = 70; surplus de 17,5 pouces.
Temps de calcul de la méthode de l'excédent-déficit:
[12] Maintenant, le mur mesure cinq pieds d'épaisseur et les deux rats se croisent. Les rats mesurent un pied par jour et les souris aussi un pied. Les rats doublent chaque jour et les souris une demi-journée. Demandez quand les jours se rencontrent? Chacun porte une géométrie?
荅 蛰: Deux jours, dix-sept minutes Hinoji.
Les rats portent trois pieds quatre pouces, douze dix-septièmes de pouce,
La souris porte un pied et cinq pouces, cinq dix-septièmes de pouce.
Shu a dit: laissez la commande pendant deux jours, moins de cinq pouces. Le troisième jour de Lingzhi, il y avait plus de trois pieds et sept pouces et demi.
Si: 2 jours, rat 10 + 20 = 30; souris 10 + 5; total 45 pouces;
Si: 3 jours, rat 10 + 20 + 40 = 70; souris 10 + 5 + 2,5; 87,5 pouces;
Calcul du temps de rencontre des rats et des souris par la méthode du surplus et de la carence:
[13] Aujourd'hui, il y a un seau de vin moelleux (bon vin), qui coûte 50 argent direct, le seul seau de bon vin (vin normal, comme Le Laoshao.), Qui coûte 10 argent direct. Aujourd'hui, l'argent est de trente et vous obtenez deux seaux de vin. Demandé combien d'alcool et de vin sont chacun?
Xing a dit: le vin moelleux fait deux litres et demi et le bon vin sept litres et demi.
Shu a dit: Si vous faites cinq litres de vin moelleux, un seau de cinq litres de vin, il y en a plus de dix. Deux litres de vin Lingzhi, huit litres de vin, moins de deux.
Si: 5 litres de vin alcoolisé, la valeur est 25; 15 litres de vin, la valeur 15; la valeur combinée est 40.
Si: 2 litres de vin alcoolisé, la valeur est 10; 18 litres de vin, la valeur 18; la valeur combinée est 28.
Calcul du vin alcoolisé par la méthode du surplus-déficit (unité: litre):
[14] Aujourd'hui, il y a cinq grands navires et cinq petits navires contenant trois hu, un gros navires et cinq petits navires contenant deux hu. Quel est le contenu des petits et grands outils?
Niao a dit: Les grands récipients contiennent vingt-quatre minutes de dendrobium et les petits récipients contiennent vingt-quatre minutes de dendrobium.
Shu a dit: Si vous voulez faire cinq seaux pour les grosses armes, cinq seaux pour les petites et dix seaux pour un profit. Faisons cinq seaux et cinq litres pour les grands, et deux seaux et cinq litres pour les petits, soit moins de deux seaux.
Si: 5 seaux de gros outils et 5 seaux de petits outils, cinq seaux de gros outils et cinq petits outils ensemble 5 × 5 + 5 = 30 seaux; cinq seaux de gros outils et un petit outil 5 + 5 × 5 = 30 seaux , 10 seaux en trop.
Si: gros outils 5 seaux 5 litres petits outils 2 seaux 5 litres, gros outils et cinq petits outils dans un 5 × 5,5 + 2,5 = 30 seaux; gros outils et un petit outil dans cinq seaux 5,5 + 5 × 2,5 = 18 seaux, moins de 2 seaux.
Calcul du volume du grand navire par la méthode du surplus et du déficit (unité: Hu):
[15] De nos jours, il y a la laque trois et l'huile quatre, l'huile quatre et la laque cinq. Maintenant, il y a trois seaux de laque.Si vous voulez rendre les points faciles à huiler, vous pouvez également réconcilier le reste de la laque. Poser la laque, obtenir de l'huile et peindre la géométrie?
Xing a dit: La peinture est un seau et un litre, un quart de litre, l'huile est un seau et cinq litres, et la peinture est un seau de huit litres et trois quarts de litre.
Shu a dit: La fausse commande est de neuf litres, moins de six litres. Laissez la peinture sortir avec un seau et deux litres, laissant plus de deux litres.
(Unité: litre)
Si: peindre 9, obtenir de l'huile 12 et peindre 15, combinés 24, moins de 6.
Si: peindre 12, obtenir de l'huile 16 et peindre 20, combiner 32, surplus 2.
Calcul de la peinture avec la méthode du profit et de la carence
[16] Il y a maintenant un pouce de jade pesant sept taels, un pouce de pierre pesant six taels. Aujourd'hui, il y a trois pouces de cubes de pierre, avec du jade au milieu, et pesant 11 catties (16 taels par catty dans les temps anciens, 176 taels.). Et le poids du jade et de la pierre?
Xing a dit: Jade mesure 14 pouces et pèse six catties et deux taels. La pierre mesure 13 pouces et pèse 4 chattes et 14 taels.
Shu a dit: les faux ordres sont tous du jade, 13 taels de plus. C'est moins de 14 taels. Moins que du jade, principalement de la pierre. Multipliez le poids par un pouce pour obtenir le poids du jade.
Si: tout jade, 3 × 3 × 3 × 7 = 189, surplus 189-176 = 13 taels.
Si: toutes les pierres, 3 × 3 × 3 × 6 = 162, moins de 162-176 = 14 taels.
13 × 6 + 14 × 7 = 176 (11 catties), juste comme il faut!
[17] Il y a un mu de bonne terre, le prix est de trois cents, et le prix de sept acres de mauvaise terre est de cinq cents. J'ai acheté un hectare (un hectare équivaut à 100 acres) aujourd'hui pour dix mille. Demandez ce qui est bon et mauvais?
Xing a dit: 12 acres et demi de bonnes terres, 87 acres et demi de mauvaises terres.
Shu a dit: Si vous commandez 20 acres de bonnes terres et 80 acres de mauvaises terres, mille sept cent quatorze dollars supplémentaires, soit deux sept cents. L'ordre de 10 acres de bonne terre et 90 acres de mauvaise terre est inférieur à cinq cent soixante et onze dollars ou trois sept cents.
Calcul du nombre d'acres de terres agricoles avec la méthode du surplus et de l'insuffisance:
Champ incorrect = 100-12,5 = 87,5
[18] Il y a neuf pièces d'or et onze pièces d'argent. La première transaction est Jinqing 13liang. Et l'or et l'argent?
Xing a dit: l'or pèse deux catties et trois cent vingt dix-huit bahts, et l'argent pèse un catty et treize vingt six bahts.
Shu a dit: Si vous voulez trois catties d'or, deux catties d'argent, cinq de 11 cents, moins de quarante-neuf, allez à droite. Commandez deux catties d'or, une catty d'argent et sept de onze cents, 15 de plus sur la gauche. Multipliez le dénominateur par le nombre dans la ligne, multipliez le rendement par le surplus ou moins, et considérez-le vrai. C'est la loi de faire des surplus. La vérité est comme la loi et vous obtenez de l'or. Multipliez et divisez le dénominateur pour obtenir de l'argent. Sur le score aussi.
Presse: 1 catty = 16 taels, 1 tael = 24 bahts.
Calculez le poids de l'or par la méthode du surplus-déficit:
[19] De nos jours, il y a de bons chevaux et chevaux à Chang'an. Allons à Chang'an pendant trois mille kilomètres. Liangma a parcouru cent quatre-vingt-treize miles par jour, augmentant de 13 miles. Le premier cheval parcourt quatre-vingt-dix-sept miles par jour et la journée est divisée par deux. Les bons chevaux viennent en premier et les chevaux reviennent. Demandez le jour de la géométrie se réunit et chaque géométrie de ligne?
Xing a dit: rendez-vous le quinzième et cent trente-cinq cent quatre-vingt-onze jours. Liangmaxing fait quatre mille cinq cent trente-quatre milles, quarante-six sur cent quatre-vingt-onze.
Le cheval parcourt mille quatre cent soixante-cinq milles, cent quarante-cinq cent quatre-vingt-onze milles.
Shu a dit: 15 jours de congé, moins de trois cent trente-sept milles. Le 16e jour de la commande est cent quarante de plus. Multipliez le nombre de fausses commandes avec un surplus et des dimensions insuffisantes et devenez vrai. C'est la loi de faire des surplus. La vérité est une, et le nombre de jours est obtenu. Ceux qui sont inépuisables sont divisés en nombres égaux.
Si: le 15, un bon cheval mesure 193 × 15 + (1 +… + 14) × 13 = 4260 milles; un cheval 97 × 15 - ((1 +… + 14) × 0,5) = 1402,5 milles.
Si: Le 16, un bon cheval mesure 193 × 16 + (1 +… + 15) × 13 = 4648 li; un cheval 97 × 16 - ((1 +… + 15) × 0,5) = 1492 li.
Le jour de la réunion (heure) calculé selon la méthode de l'excédent et du déficit:
[20] Il y a des gens qui détiennent Qian Shu, Jia Li treize. Le premier retour est de 14 000, le second de 13 000, le second de 12 000, le suivant de 11 000 et le dernier de 10 000. Chaque fois que cinq remboursent l'argent, tout le capital et les bénéfices sont épuisés. Demandé comment détenir de l'argent et profiter?
Xing a dit: C'est trois mille quatre cent soixante-huit yuans, trois cent soixante et onze mille deux cent quatre-vingt-treize cents, quatre-vingt-quatre mille huit cent soixante-seize. Lee 29531 argent, 3.171.293 cents, 286.417.
Shu a dit: La fausse commande a coûté 30 000 yuans, soit moins de 1 738 yuans et demi. Commande de 40 000, un supplément de 35 390, huit cents.
Si: c'est 30000, 3,9-1,4-1,3-1,2-1,1-1,0 ... -1738,5
Principal + intérêts: (30000) + (30000) × 0,3 = 39000
Revenir à 14000: (39000-14000) + (39000-14000) × 0,3 = 32500 restants
Renvoyer 13000: (32500-13000) + (32500-13000) × 0,3 = les 25350 restants
Retour 12000: (25350-12000) + (25350-12000) × 0,3 = 17355 restants
Retour 11000: (17355-11000) + (17355-11000) × 0,3 = 8261,5 restants
Finale: (8261,5-10000) = - 1738,5 (insuffisant)
Si: c'est 40000, 3,9-1,4-1,3-1,2-1,1-1,0 ... +35390,8
Principal + intérêts: (40000) + (40000) × 0,3 = 52000
Retour à 14000: (52000-14000) + (52000-14000) × 0,3 = 49400 restants
Retourne 13000: (49400-13000) + (49400-13000) × 0,3 = 47320 restants
Retour au 12000: (47320-12000) + (47320-12000) × 0,3 = 45916 restants
Retour 11000: (45916-11000) + (45916-11000) × 0,3 = 45390,8 restants
En fin de compte: (45390,8-10000) = surplus 35390,8 (surplus)
Calcul du coût de la méthode du déficit:
Intérêts = 60000-capital
Haha! que diriez-vous? Le processus de lecture et de résolution de ces questions est agréable.