La méthode du miroir consiste à remplacer le système donné à résoudre par un système de charge convenablement configuré.
Selon le théorème d'unicité, tant que la charge nouvellement ajoutée (charge d'image miroir) n'entre pas dans la zone de solution d'origine pour garantir que la distribution de charge dans la zone de solution d'origine n'est pas modifiée, l'équation potentielle dans la zone de solution d'origine peut être garantie de ne pas être modifiée, et la limite des conditions de la zone d'origine reste inchangée pour répondre aux exigences.
La méthode de l'image miroir remplace en fait l'influence de la frontière d'origine sur le système par la charge ajoutée à l'extérieur de la zone de solution. Par conséquent, lors de l'utilisation de la méthode de l'image miroir, la frontière d'origine est d'abord supprimée, puis certaines charges sont ajoutées de manière appropriée en dehors de la solution. zone à ajuster La quantité de charge, la quantité de charge et la position de la charge rendent les conditions à la frontière d'origine inchangées. De cette manière, selon le théorème d'unicité, la solution du nouveau système est la solution du système d'origine dans la zone de solution d'origine.
Table des matières
1. Un système dans lequel une charge ponctuelle est placée au-dessus d'une plaque conductrice mise à la terre infiniment grande
S'il n'y a pas de plaque conductrice, le champ électrique est généré par q et il n'y a pas de surface équipotentielle à la position de la plaque conductrice. Du fait de l'existence de la plaque conductrice, la position est forcée de devenir une surface équipotentielle
L'effet de la plaque conductrice sur le champ électrique est dû à la charge induite sur la surface. La répartition de la ligne de force électrique du système d'origine est :
La distribution des lignes de force électrique après l'ajout de la charge d'image est :
On peut voir que dans le demi-espace supérieur, la distribution de potentiel ne change pas, les conditions aux limites de la zone de solution d'origine sont toujours satisfaites et la position de la plaque conductrice est toujours la surface équipotentielle, il est donc maintenant nécessaire de résoudre la position et la taille de -q
Avant d'ajouter des frais d'image
Pour le demi-espace supérieur :
Pour le demi-espace inférieur :
Ajouter des frais d'image
(1) Parce que la charge d'image ne peut pas affecter la distribution potentielle de la zone de solution d'origine, la charge d'image ne peut être placée que dans le demi-espace inférieur
(2) L'amplitude de la charge induite sur la plaque conductrice est q, et le signe est négatif, donc la taille de la charge d'image est q, et le signe est négatif
(3) Le champ électrique généré par la charge q et la charge image -q satisfait :
Par conséquent, la position de la charge d'image est -d et la ligne de connexion avec q est perpendiculaire à la plaque conductrice
(Jusqu'à présent, nous avons déterminé la taille, la position, le signe, etc. de la charge d'image. Nous pouvons utiliser le système de charge d'image et de charge ponctuelle pour résoudre la distribution potentielle du demi-espace supérieur, mais il convient de noter que pour le demi-espace inférieur, le système de charge d'image et de charge ponctuelle ne peut pas être utilisé pour résoudre)
2. Un système dans lequel une charge ponctuelle est placée à l'extérieur d'une sphère conductrice mise à la terre
Une coque sphérique conductrice mise à la terre a une charge q à une distance d, qui détermine la charge image
À côté de q, la position de la coque sphérique du conducteur est la surface équipotentielle, et après sa mise à la terre, φ = 0
Déterminez maintenant la taille et la position de la charge d'image :
(1) Selon la symétrie, la charge image doit être sur la ligne de connexion entre o et q
(2) En supposant que la distance de charge d'image du point o est b, alors la taille de b est requise, et la taille de -q'
Après retrait de la croûte terrestre mise à la terre, le système est constitué de charges image et de charges ponctuelles, et la condition aux limites φ=0 doit être satisfaite, à savoir :
(Le potentiel en tout point de la coque sphérique est superposé au potentiel généré par la charge ponctuelle et au potentiel généré par la charge image, r et r' sont calculés selon la loi des cosinus)
Organisé pour obtenir :
Comme le potentiel est égal à zéro pour tout point de la coque sphérique, la formule ci-dessus est toujours établie pour tout θ, c'est-à-dire :
Lorsque q' et b prennent les valeurs ci-dessus, la condition aux limites est satisfaite, c'est-à-dire que la distribution potentielle dans l'espace extérieur de la sphère conductrice ne change pas après l'ajout de la charge image ; puis, selon le théorème d'unicité, résoudre le problème de la distribution potentielle dans la sphère extérieure peut être transformée en, par des charges ponctuelles et des charges d'image forment un système pour résoudre les problèmes de distribution potentielle.
en conclusion:
La plaque conductrice est comme un miroir plan, les charges image sont égales en taille et en distance ;
La coque terrestre du conducteur ressemble à un miroir concave-convexe, et sa taille et sa distance sont étirées proportionnellement.
3. Un système dans lequel une charge ponctuelle est placée à l'extérieur d'une sphère conductrice non mise à la terre et non chargée
Lorsque la coque sphérique conductrice n'est pas mise à la terre, la surface génère des charges induites. D'après ce qui précède, la quantité de charge induite est -q' ; la coque sphérique conductrice est une surface équipotentielle, mais le potentiel n'est pas nécessairement égal à 0, mais une constante Le potentiel partout est égal au potentiel de surface de la boule.
Actuellement, le système est composé de la charge induite -q' à la surface de la coque sphérique et de la charge ponctuelle q, et la charge image est maintenant déterminée :
(1) La surface de la coque sphérique est une surface équipotentielle, donc la charge image doit être au centre de la sphère
(2) La taille de la charge d'image peut être calculée à partir de la conclusion ci-dessus
Tout de suite:
Ensuite, le système original est transformé en : un système de charge composé de q, -q', q'
A l'intérieur d'une sphère conductrice :
La distribution potentielle ne dépend que de -q', q'
En dehors de la sphère conductrice :
Comme le champ électrique q' ne peut traverser la sphère, le champ électrique externe ne dépend que de -q', q
A la surface d'une sphère conductrice :
Le potentiel est constant