Méthode analytique des caractéristiques du chaos dans un système non linéaire - Méthode d'analyse du diagramme de phase/diagramme de bifurcation

Méthode analytique des caractéristiques chaotiques de la méthode d'analyse du diagramme de phase du système non linéaire/diagramme de bifurcation

Les cartes chaotiques sont utilisées pour générer des séquences chaotiques, qui sont des séquences aléatoires produites par des systèmes déterministes simples. Une séquence chaotique générale a les principales caractéristiques suivantes :

1. non linéaire ;
2. Dépendance sensible à la valeur initiale ;
3. ergodicité;
4. aléatoire;
5. attracteur étrange (attracteur chaotique);
6. entretien des scores ;
7. Stabilité globale et instabilité partielle ;
8. imprévisibilité à long terme;
9. Instabilité orbitale et bifurcation ;
10. Universalité et constante de Feigenbaum.

En raison de la complexité des caractéristiques dynamiques des systèmes non linéaires, comment juger le comportement chaotique dans les systèmes non linéaires a toujours été un sujet important dans la recherche sur le chaos. Généralement, les méthodes pour juger les caractéristiques chaotiques du système comprennent la méthode d'analyse de la trajectoire de phase (diagramme de phase), la méthode d'analyse du spectre d'alimentation automatique, la méthode de l'indice caractéristique de Lyapunov, la méthode d'analyse de la dimension fractale, la méthode d'échantillonnage par répartition en fréquence, la méthode de l'espace pseudo-phase, la méthode de la section de Poincaré , méthode de test 0-1 et méthode de mesure de la complexité, etc.

Il existe généralement deux types de systèmes non linéaires, les systèmes chaotiques discrets et les systèmes chaotiques continus. La méthode de dessin des diagrammes de phase consiste principalement à résoudre des solutions numériques d'équations différentielles. Les méthodes les plus utilisées sont la méthode d'Euler simple, la méthode Runge-Kutta, etc.

analyse du diagramme de phase

La méthode d'analyse du diagramme de phase est une méthode d'observation directe , et les caractéristiques de mouvement alternatif non périodique du mouvement chaotique peuvent être exprimées par la méthode géométrique du diagramme de plan de phase. Le mouvement périodique répète le mouvement précédent tous les deux cycles et la courbe de trajectoire de phase de son mouvement est une courbe fermée. Le mouvement chaotique est un mouvement non périodique, donc la courbe de trajectoire de phase du mouvement chaotique est une courbe qui n'est jamais fermée, et le type de mouvement alternatif se reflète dans le fait que la courbe de trajectoire de phase est limitée à une zone délimitée, et ne sera pas diverger à l'infini, ni ne convergera vers un point stable, formant ainsi un attracteur étrange . Par conséquent, si le système non linéaire est simulé et que le diagramme de phase du système est dessiné, le comportement dynamique du système non linéaire peut être préalablement déterminé intuitivement, y compris les cycles limites, le mouvement périodique et le mouvement chaotique. L'inconvénient du diagramme phase-orbite est que lorsque la période du mouvement périodique est très longue, il est difficile de distinguer avec précision le mouvement périodique du mouvement chaotique uniquement sur la base du diagramme de plan de phase.

L'attracteur chaotique a une structure complexe d'étirement, de pliage et d'étirement, qui maintient le système exponentiellement divergent dans un espace limité, ce qui est le résultat de l'effet combiné de la stabilité globale et de l'instabilité locale du système dynamique. En raison de la stabilité globale, tous les mouvements des nuages ​​à l'extérieur de l'attracteur sont proches de l'attracteur et l'orbite de mouvement converge vers l'attracteur, tandis que l'instabilité locale fait que toutes les orbites de mouvement qui atteignent l'intérieur de l'attracteur se repoussent. certaines directions et devenir un facteur instable. Les petites perturbations sont stables pour l'attracteur chaotique et finiront par atteindre l'attracteur. Cependant, à l'intérieur de l'attracteur chaotique, l'état de mouvement du système est très sensible aux conditions initiales, c'est-à-dire qu'il y a une légère différence dans la position d'entrée dans l'attracteur chaotique. Au fil du temps, cette différence augmentera de façon exponentielle, et finalement conduire à des orbites chaotiques complètement différentes . L'attracteur chaotique a une propriété fractale, qui est un ensemble fractal ; l'attracteur chaotique a une structure auto-similaire imbriquée à l'infini ; l'attracteur chaotique a une dimension fractale, qui est une extension du concept de dimension dans l'espace dimensionnel entier bien connu.

analyse du diagramme de bifurcation

Lorsque les paramètres du système changent, la projection de la carte de Poincaré sur un certain axe de coordonnées peut constituer un diagramme de bifurcation lorsque les paramètres changent . Pour les paramètres de système fixes, un point de signal ou plusieurs points de signal égaux au numéro de période du système sur le diagramme de bifurcation peuvent représenter l'état stable de la période du système. Cependant, les innombrables points dessinés dans le graphique du chaos indiquent qu'il existe d'innombrables points de signal périodiques qui ne tombent jamais à la même position lorsque le chaos se produit. Par conséquent, dans le diagramme de bifurcation, les caractéristiques des performances du système changeant avec les paramètres du système peuvent être clairement représentées.

Cas de système chaotique discret

1. carte linéaire par morceaux

   1.1 Cartographie des tentes

   xn + 1 = { axn , 0 ≤ xn < 0,5 une ( 1 − xn ) , 0,5 ≤ xn < 1 μ ∈ ( 0 , 2 ] x_{n+1}= \begin{cases} ax_n, 0\le\ x_n \ < \ 0.5\ \\ a(1-x_n),0.5\le\ x_n \ <\ 1\ \\ \mu \in(0,2] \end{cases}Xn + 1=⎩ ⎨ ⎧un xn,0≤ Xn < 0,5 un ( 1−Xn) ,0,5≤ Xn < 1 m∈( 0 ,2 ]

   clc;
   clear all;
   close all;
   axis([0,1,0,1]);
   %% 初始值
   x0=0.1;t=800;M=850;
   r=0:0.01:1;
   [m,n]=size(r);
   hold on
   for i=1:n
       if x0<0.5
           x(1)=2*r(i)*x0;
       end
       if x0>=0.5
           x(1)=2*r(i)*(1-x0);
       end
   for j =2:M
        if x(j-1)<0.5
           x(j)=2*r(i)*x(j-1);
        end
       if x(j-1)>=0.5
           x(j)=2*r(i)*(1-x(j-1));
       end
   end
   xn{
         
         i}=x;
   %%pause(0.1);
   plot(r(i),xn{
         
         i},'b.','Markersize',2);
   xlabel('r');ylabel('x(i)');
   end
   
   

   %% Tent
   y_2=zeros(1,10^5);
   y_2(1)= 0.152;   
   Beta = 0.4;
   for i = 1 : 10^5-1   
          if (y_2(i)<=Beta && y_2(i)>0)
             y_2(i+1) = y_2(i)/Beta;
          else 
             y_2(i+1)=(1-y_2(i))/(1-Beta);
          end    
   end
   figure
   h2=histogram(y_2,200);
   h2.FaceColor=[0 0 1];
   xlim([0,1])%设置x轴范围
   xlabel('Tent map')
   

   

   

   1.2 Cartographie de Bernoulli

   clc;clear all;close all
   axis([0,1,0,1]);
   x0=0.1;t=800;M=850;
   r=0:0.01:1;
   [m,n]=size(r);
   hold on
   for i=1:n
       if x0<0.5
           x(1)=2*r(i)*x0;
       end
       if x0>=0.5
           x(1)=2*r(i)*(x0-1)+1;
       end
   for j =2:M
        if x(j-1)<0.5
           x(j)=2*r(i)*x(j-1);
        end
       if x(j-1)>=0.5
           x(j)=2*r(i)*(x(j-1)-1)+1;
       end
   end
   xn{
         
         i}=x;
   %%pause(0.1);
   plot(r(i),xn{
         
         i},'b.','Markersize',2);
   xlabel('r');ylabel('x(i)');
   end
   

   

   
   $$X_{n+}=\{\begin{array}{l}un{x}_{},0\le X_{}<\mathrm{0,5}\\ un(x_{}-1)+1,\mathrm{0,5}\le X_{}<\end{array}$$

   1.3 Application parabolique (Logistique)
   $$\begin{gathered} X_{n+}=\mu x{\_}_{}(1-X_{}) \\ m\in (0,4) \\ {X}_{}\in (0,1) \end{gathered}$$

​

figure(1);
axis([2.7, 4, 0, 1]);
grid
hold on %保持屏幕不动,持续打点
for r = 2.7:0.005:3.9
    x = 0.1;
    for i =2:200
        x(i) = r *x(i-1) *(1-x(i-1));
    end
    pause(0.1)%暂停函数
    for i=151:200
        plot(r,x(i),'k.');
    end
end
title('Logistic映射分岔图');

2. Cartographie alternative discrète bidimensionnelle

​ 2.1 Application de Henon
$$\{\begin{array}{l}{X}_{n+}=1-un{x}_n^{}+y_{}\\ y_{n+}=b{x}_{}\end{array}$$

$$\begin{gathered} 1.07\le un\le 1.4,b=\mathrm{0,3} \\ {X}_{}\in (-\mathrm{1,5},1.5) \end{gathered}$$

​ Lorsque a est dans cette plage, le système est dans un état chaotique. Lorsque a = 1,4, la complexité du système est la plus grande. Généralement, a = 1,4 et b = 0,3 sont pris dans la recherche sur le chaos.

clc;
clear all;
a=1.4;
b=0.3;
x(1)=0.5;
y(1)=0.5;
for i=2:1000
    x(i)=1-a*x(i-1)^2+y(i-1);
    y(i)=b*x(i-1);
end
figure(1)
plot(x,y,'.');
title('Henon映射')

clc;
clear all;
figure(1);
axis([0, 1.5, -1, 1]);
grid
hold on
b=0.3;
for a = 0:0.01:1.5
    x(1)=0.5;
    y(1)=0.5;
    for i =2:200
        x(i)=1-a*x(i-1)^2+y(i-1);
        y(i)=b*x(i-1);
    end
    pause(0.1)
    for i=10:200
        plot(a,y(i),'k.');
    end
end
xlabel('a');
ylabel('yn');
title('Henon分岔');

2.2 Carte carrée généralisée bidimensionnelle

​ Le comportement dynamique est déterminé par quatre paramètres de contrôle, r, a, b1, b2. Si le paramètre fixe a=10, les paramètres sélectionnés sont dans la plage suivante r ∈ [ − 1 , 1 ] b 1 = b 2 =
$$\begin{gathered} r\in [-1,1] \\ {b}_{}=b_{}=b\in [-1,1] \end{gathered}$$

$$\{\begin{array}{l}{X}_{n+}=b_{}[ex{p}^{-une{x}_n^{}}-X_n^{}]+r{y}_{}\\ y_{n+}=b_{}[ex{p}^{-un{y}_n^{}}-y_n^{}]+r{x}_{}\end{array}$$