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1. Produit scalaire du vecteur et de la base
Supposons qu'il existe un vecteur a ⃗ \vec{a} dans un plan bidimensionnelun, qui est dans la base de coordonnées e ⃗ 1 , e ⃗ 2 \vec{e}_1, \vec{e}_2e1,e2La valeur des coordonnées ci-dessous est [ xy ] \left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right][Xoui]。
Regardons d'abord le vecteur a ⃗ \vec{a}unSoi et base de coordonnées e ⃗ 1 \vec{e}_1e1Le produit intérieur de. Pour le principe du produit interne, veuillez vous référer à l'article [Connaissances mathématiques] Multiplication vectorielle, produit interne, produit externe, implémentation du code matlab . Ici, nous utilisons directement sa conclusion, c'est-à-dire que le produit scalaire d'un vecteur est la longueur projetée d'un vecteur dans la direction d'un autre vecteur, multipliée par la longueur du vecteur projeté, comme le montre la figure ci-dessous.
Décrit par la formule comme
une ⃗ ⋅ e ⃗ 1 = ∥ une ⃗ ∥ ∥ e ⃗ 1 ∥ cos ( θ ) \vec{a} \cdot \vec{e}_1 = \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\thêta)un⋅e1=∥un∥∥e1∥cos ( θ )
Dans notre cas, le vecteur projeté est le vecteur de base e ⃗ 1 \vec{e}_1e1, et le vecteur de base e ⃗ 1 \vec{e}_1e1Sa longueur de module ∥ e ⃗ 1 ∥ \|\vec{e}_1\|∥e1∥ est encore1 11 , donc
a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 = ∥ a ⃗ ∥ ∥ e ⃗ 1 ∥ cos ( θ ) = ∥ a ⃗ ∥ cos ( θ ) \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{e}_1 & = \|\vec{a}\| \|\vec{e}_1\| \cos(\theta) \\ &= \|\vec{a}\| \cos(\theta)\end{aligné}un⋅e1=∥un∥∥e1∥cos ( θ )=∥un∥cos ( θ ).
Numériquement ∥ a ⃗ ∥ cos ( θ ) \|\vec{a}\| \cos(\theta)∥un∥cos ( θ ) est égal au vecteura ⃗ \vec{a}unDans la base de coordonnées e ⃗ 1 \vec{e}_1e1coordonner les valeurs sur. Si la base de coordonnées e ⃗ 1 \vec{e}_1e1Nous le considérons comme l'abscisse, alors a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 \vec{a} \cdot \vec{e}_1un⋅e1Numériquement, il est égal à la valeur de l'abscisse, c'est-à-dire
ax = a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 \begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 \end{aligned}unx=un⋅e1
De la même manière, on peut aussi obtenir a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 \vec{a} \cdot \vec{e}_2un⋅e2Numériquement égal à la valeur de l'ordonnée.
ay = a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 \begin{aligned} a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 \end{aligned}unoui=un⋅e2
Enfin, la conclusion de la description formulée est
hache = une ⃗ ⋅ e ⃗ 1 = [ axay ] ⋅ [ e 11 e 12 ] = hache 11 + oui 12 ay = une ⃗ ⋅ e ⃗ 2 = [ axay ] ⋅ [ e 21 e 22 ] = hache 21 + oui 22 , ∥ e ⃗ 1 ∥ = ∥ e ⃗ 2 ∥ = 1 \begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{11} + a_y e_{12} \\ a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix } e_{21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{21} + a_y e_{22} \end{aligned},\quad \|\vec{e}_1\ | = \|\vec{e}_2\| = 1unxunoui=un⋅e1=[unxunoui]⋅[e11e12]=unxe11+unouie12=un⋅e2=[unxunoui]⋅[e21e22]=unxe21+unouie22,∥e1∥=∥e2∥=1
2. Exemple de vecteur plan bidimensionnel
Ce qui suit est un exemple basé sur un vecteur sur un plan bidimensionnel.
Supposons qu'il existe un vecteur plan bidimensionnel a ⃗ \vec{a} comme mentionné ci-dessusun, dans la base de coordonnées standard e ⃗ 1 = [ 1 0 ] , e ⃗ 2 = [ 0 1 ] \vec{e}_1=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\ right ], \vec{e}_2=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right]e1=[10],e2=[01] La valeur des coordonnées ci-dessous est[ axay ] = [ 3 4 ] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{ matrice}\right][unxunoui]=[34]。
Maintenant, nous changeons la base de coordonnées en e ⃗ 1 ′ = [ 1 2 1 2 ] , e ⃗ 2 ′ = [ − 1 2 1 2 ] \vec{e}_{1^\prime}=\left[\begin { matrice} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_{2^\ prime }=\left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right]e1′=[2121],e2′=[−2121] , la valeur des coordonnées sous cette nouvelle base est[ ax ′ ay ′ ] = [ 7 2 1 2 ] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{ matrice}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right][unX′unoui′]=[2721]。
Vérifiez d'abord la conclusion
hache = a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 = [ axay ] ⋅ [ e 11 e 12 ] = hache 11 + oui 12 = [ 3 4 ] ⋅ [ 1 0 ] = 3 × 1 + 4 × 0 = 3 \begin{aligned} a_x &= \vec{a} \cdot \vec{e}_1 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_ {11} \\ e_{12} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{11} + a_y e_{12} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \ end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right] = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3 \end{aligned}unx=un⋅e1=[unxunoui]⋅[e11e12]=unxe11+unouie12=[34]⋅[10]=3×1+4×0=3
hache ′ = a ⃗ ⋅ e ⃗ 1 ′ = [ axay ] ⋅ [ e 1 1 ′ e 1 2 ′ ] = hache 1 1 ′ + oui 1 2 ′ = [ 3 4 ] ⋅ [ 1 2 1 2 ] = 3 × 1 2 + 4 × 1 2 = 7 2 \begin{aligned} a_{x^\prime} &= \vec{a} \cdot \vec{e}_{1^\prime} =\left[\begin{ matrice} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\prime} \\ \end{matrix}\right] =a_{x} e_{11^\prime} + a_{y} e_{12^\prime} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix }\right] = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \ fin{aligné}unX′=un⋅e1′=[unxunoui]⋅[e1 1′e1 2′]=unxe1 1′+unouie1 2′=[34]⋅[2121]=3×21+4×21=27
En observant la figure ci-dessous, on peut aussi voir grossièrement le vecteur a ⃗ \vec{a}unDans la nouvelle base e ⃗ 1 ′ \vec{e}_{1^\prime}e1′La longueur de projection est de 7 / 2 7/\sqrt{2}7/2。
Ceci est également cohérent avec l'effet dans le tableau de coordonnées.
Continuez ci-dessous pour vérifier la conclusion
ay = a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 = [ axay ] ⋅ [ e 21 e 22 ] = ax 21 + aye 22 = [ 3 4 ] ⋅ [ 0 1 ] = 3 × 0 + 4 × 1 = 4 \begin{aligned} a_y &= \vec{a} \cdot \vec{e}_2 =\left[\begin{matrix} a_x \\ a_y \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_ {21} \\ e_{22} \\ \end{matrix}\right] =a_x e_{21} + a_y e_{22} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \ end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] = 3 \times 0 + 4 \times 1 = 4 \end{aligned}unoui=un⋅e2=[unxunoui]⋅[e21e22]=unxe21+unouie22=[34]⋅[01]=3×0+4×1=4
ay ′ = a ⃗ ⋅ e ⃗ 2 ′ = [ axay ] ⋅ [ e 1 1 ′ e 1 2 ′ ] = ax 1 1 ′ + oui 1 2 ′ = [ 3 4 ] ⋅ [ − 1 2 1 2 ] = 3 × ( − 1 2 ) + 4 × 1 2 = 1 2 \begin{aligned} a_{y^\prime} &= \vec{a} \cdot \vec{e}_{2^\prime} =\left [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} e_{11^\prime} \\ e_{12^\ prime} \\ \end{matrix}\right] =a_{x} e_{11^\prime} + a_{y} e_{12^\prime} \\ &= \left[\begin{matrix} 3 \ \ 4 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \ \end{matrix}\right] = 3 \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1} {\ sqrt {2}} \ fin {aligné}unoui′=un⋅e2′=[unxunoui]⋅[e1 1′e1 2′]=unxe1 1′+unouie1 2′=[34]⋅[−2121]=3×( -21)+4×21=21
La deuxième conclusion signifie aussi que le vecteur a ⃗ \vec{a}unDans la nouvelle base e ⃗ 2 ′ \vec{e}_{2^\prime}e2′La longueur de projection est de 1 / 2 1/\sqrt{2}1/2。
3. Vérification des codes
a_x = 3;
a_y = 4;
a = [a_x
a_y];
e_1 = [ 1
0];
e_2 = [ 0
1];
e_1_prime = [ sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
>> dot(a, e_1)
ans =
3
>> dot(a, e_2)
ans =
4
>> dot(a, e_1_prime)
ans =
4.9497
>> dot(a, e_2_prime)
ans =
0.7071