[수학적 지식] 회전 행렬의 유도 과정은 벡터의 회전을 기반으로 하면서 유클리드 변환의 비선형 한계를 해결합니다.

일련번호	콘텐츠
1	[수학적 지식] 자유도 및 자유도 계산 방법
2	[수학적 지식] 강체 강체와 강체의 운동
삼	[수학적 지식] 강체의 기본운동, 평행이동 및 회전
4	[수학적 지식] 벡터 곱셈, 내적, 외적, MATLAB 코드 구현
5	[수학적 지식] 공분산, 확률변수의 공분산, 확률변수가 각각 단일수와 벡터일 때의 공분산
6	[수학적 지식] 회전 행렬의 유도 과정은 벡터의 회전을 기반으로 하면서 유클리드 변환의 비선형 한계를 해결합니다.

1. 점과 벡터의 표현

포인트 : 길이도 없고 부피도 없는 공간의 기본 요소이다.

3차원 공간에 점 $a$ , 좌표는${\left[\begin{array}{c}엑스,y,\end{array}\right]}^{\text{티}}$。

벡터는 두 점을 연결하여 형성됩니다.

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벡터 : 한 점에서 다른 점을 가리키는 화살표로 볼 수 있습니다. 벡터와 좌표의 두 가지 개념을 혼동하지 마십시오. 벡터는 벡터 a ⃗ \vec{a} 와 같이 공간에 있는 것입니다.$\overrightarrow{ㅏ}$. 여기 $\overrightarrow{ㅏ}$여러 실수와 연관되지 않습니다. 이 3차원 공간에서 특정 좌표계를 지정해야만 이 좌표계에서 벡터의 좌표에 대해 이야기할 수 있습니다. 즉, 이 벡터에 해당하는 여러 실수를 찾을 수 있습니다.

벡터 $\overrightarrow{ㅏ}$선형 공간 기반에서 $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_{},{\overrightarrow{이자형}}_{},{\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]$ 아래의 좌표${\left[\begin{array}{c}엑스,y,\end{array}\right]}^{\text{T}}$ 이면 다음과 같은 공식이 있습니다

$$\begin{array}{r}\overrightarrow{ㅏ}=\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]={\overrightarrow{이자형}}_{}엑스+{\overrightarrow{이자형}}_{}와이+{\overrightarrow{이자형}}_{}지\\ =엑스{\overrightarrow{이자형}}_{}+와이{\overrightarrow{이자형}}_{}+지{\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}$$

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2. 벡터 기반의 회전 행렬 RR 도출$아르\; 자형$

동일한 벡터에 대해 $\overrightarrow{ㅏ}$, 단위 직교 기준으로 설정 $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_{},{\overrightarrow{이자형}}_{},{\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]$ 아래의 좌표${\left[\begin{array}{c}엑스,y,\end{array}\right]}^{\text{T}}$ ,
한 회전 후에 단위 직교 기저는$\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_1^{},{\overrightarrow{이자형}}_2^{},{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]$ , 그리고 벡터$\overrightarrow{ㅏ}$새로운 직교 기저 아래의 좌표는 ${\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime },{와이}^{\prime },{지}^{}\end{array}\right]}^{\text{티}}$。

이 벡터는 좌표계의 회전에 따라 움직이지 않기 때문에 좌표의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{ㅏ}& =\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\end{array}$$

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행렬이 방정식의 양변에 동시에 왼쪽 곱셈을 하면 $\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]$,가지다

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\end{array}$$

분명히 있습니다

$$\begin{array}{rlr}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=1,& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=1,& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=0,& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}=1,\end{array}$$

따라서 다음과 같이 더욱 단순화할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}엑스\\ 와이\\ \end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_1^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_2^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\\ {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_1^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_2^{}& {\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}{\overrightarrow{이자형}}_{삼}^{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\\ & \stackrel{데에프\_}{=}아르\; 자형\left[\begin{array}{c}{엑스}^{\prime }\\ {와이}^{\prime }\\ {지}^{}\end{array}\right]\end{array}$$

이 $R은$ 회전 행렬(Rotation Matrix)이라고 불리는 벡터의 회전을 설명합니다.

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위의 도출 과정은 벡터의 대수적 관계와 3차원 좌표축의 회전 각도를 이용한 도출 과정을 기반으로 하며, 3장 - 기초 수학적 지식 -> 좌표 변환 의 글을 참고하시면 됩니다 .

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회전 $R$ 에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• 회전 $R$ 은 행렬식이 1인 직교 행렬입니다. 반대로, 행렬식이 1인 직교 행렬은 회전 행렬이기도 합니다. 알앤$n$ 차원 회전 행렬은 특별한 직교 그룹$SO\left(n\right)$。$$그래서\left(n\right)=\{R\in {아르\; 자형}^{n\times n}|R{R}^{\text{티}}=나는,\text{그것}\left(R\right)=나는\}$$

• 회전 $R$ 은 직교행렬(Orthogonal Matrix, 직교행렬은 역수가 자신의 전치인 행렬)이고, 회전행렬의 역행렬은${아르\; 자형}^{-1은}$ 반대 회전을 나타냅니다.

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3. 벡터의 유클리드 변환

컴퓨터 비전 및 로봇 공학에서 유클리드/강체 변환(또는 강체 변환)은 매우 일반적인 변환입니다.

유클리드 변환은 두 부분으로 구성됩니다.

1. 회전(Rotation): 회전 행렬로 표현할 수 있습니다.
2. 번역(Translation): 번역 벡터로 표현할 수 있습니다.

불명확하신 분들은 [수학적 지식] 강체의 기본운동, 평행이동과 회전 글을 참고해주세요 .

다음과 같은 회전 및 변환 프로세스가 있다고 가정합니다. 세계 좌표계에 벡터 ${\overrightarrow{ㅏ}}_{}$, 1회전 후 ${아르\; 자형}_{1t}$그리고 번역 ${티}_{1t}$그 후, 벡터 a ⃗ 2 \vec{a}_2 가 얻어집니다.${\overrightarrow{ㅏ}}_{}$, 그러면 다음과 같은 관계가 있습니다
$${\overrightarrow{ㅏ}}_{}={아르\; 자형}_{1t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{1t}$$

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4. 유클리드 변환에는 비선형 한계가 있습니다.

유클리드 변환은 회전과 평행 이동을 포함하는 강체 변환입니다. 변환은 선형이지만 회전은 비선형입니다.

회전의 경우 회전 행렬, 쿼터니언 또는 회전축과 회전 각도를 사용하여 설명할 수 있습니다. 어떻게 설명하든 회전의 본질은 비선형입니다.

두 가지 변환을 수행하면: ${아르\; 자형}_{1t},{티}_{1t}$와 ${아르\; 자형}_{2t},{티}_{2t}$

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}& ={아르\; 자형}_{1t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{1t}\\ {\overrightarrow{ㅏ}}_{}& ={아르\; 자형}_{2t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{2t}\\ & ={아르\; 자형}_{2t}(R_{1t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{1t})+{티}_{2t}\end{array}$$

위 변환에는 두 개의 회전 행렬이 있지만 두 회전의 조합 ${아르\; 자형}_{2t}\times {아르\; 자형}_{1t}$덧셈과 같은 두 회전 행렬의 단순한 선형 결합과 같지 않습니다.

마찬가지로 회전을 설명하기 위해 쿼터니언을 사용하면 쿼터니언 곱셈도 비선형입니다.

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5. 변환 행렬 TT 사용$T는$ 비선형성을 해결합니다.

유클리드 변환의 비선형 문제는 동차좌표법을 통해 해결할 수 있습니다.

동종 좌표는 추가 좌표를 추가하여 표준 좌표를 확장합니다. 회전과 평행이동은 단일 행렬로 표현될 수 있으므로 변환이 더 간단해집니다.

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구체적인 해결책은 끝에 1을 추가하여 3차원 벡터를 동차 좌표라고 하는 4차원 벡터로 바꾸는 것입니다. 이 유클리드 변환의 경우

$${\overrightarrow{ㅏ}}_{}={아르\; 자형}_{1t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{1t}$$

회전 행렬과 평행 이동 벡터를 동일한 변환 행렬(Transformation Matrix)에 쓰고 동시에 차원을 확장합니다.

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}\\ \end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{아르\; 자형}_{1t}& {티}_{1t}\\ 0_{1\times }& \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}\\ \end{array}\right]\\ & =티[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}\\ \end{array}\end{array}$$

$T$ 는 변환 행렬입니다.

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동차좌표의 의미는 유클리드 변환을 선형 관계로 표현한다는 것입니다.

따라서 유클리드 변환이 동차 좌표가 된 후에는 다음을 얻습니다.

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}& ={아르\; 자형}_{1t}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}+{티}_{1t}\\ [\begin{array}{c}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}\\ \end{array}& =티[\begin{array}{c}{\overrightarrow{ㅏ}}_{}\\ \end{array}\end{array}$$

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변환 행렬 $T$ 의 속성 :

• 변환 행렬 $T는$ 특별한 유클리드 그룹$SE$：
  $$남동\left(3\right)=\{티=\left[\begin{array}{cc}아르\; 자형& 티\\ 0_{1\times }& \end{array}\right]\in {아르\; 자형}^{4\times 4}|R\_\in 그래서(3),티\in {아르\; 자형}^3\}$$

• 변환 행렬의 역은 역 변환을 나타냅니다:
  $${티}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{아르\; 자형}^{\text{티}}& -R^{\text{ㅜㅜ}}\_\\ 0_{1\times }& \end{array}\right]$$

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참조

1. "Visual SLAM 14개의 이론부터 실습까지" 강의 3 3차원 공간에서의 강체 운동 - Zhihu
2. SLAM 연구 노트 (1) 강의 3: 3차원 공간에서의 강체 운동
3. [Sorkine-Hornung O, Rabinovich M. svd[J]를 사용한 최소 제곱 강체 운동. 컴퓨팅, 2017, 1(1): 1-5.]