Каталог статей
абстрактный
- Исчисление эквивалентности формул высказываний @ Режим общей эквивалентности
Эквивалентность
-
А ⇔ BA\Leftrightarrow{B}А⇔B представляет предложение равенстваppп :А ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Б –тавтология
- Янг А, BA,BА ,B имеетту же таблицу истинности, что означаетA, BA, B.А ,B имеет одно и то же истинностное значение при любом присваивании, тогда согласно определению истинности эквивалентной связки сложная формулаA ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Истинное значение B всегда истинно, поэтомуA ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Б –тавтология
- Напротив, если A ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔B — тавтология, основанная на эквивалентной связке↔ \leftrightarrowОпределение ↔ , A, BA,BА ,B равен при любом присваивании, поэтомуA, BA,BА ,B имеет ту же таблицу истинности
-
Определение: Если A, BA,BА ,Эквивалентность двух предложенийA ↔ BA\leftrightarrow{B }А↔B — тавтология, тоA , BA, BА ,B эквивалентноизаписано какA ⇔ BA\Leftrightarrow{B}А⇔Б
-
Символ ↔ \leftrightarrow↔ и⇔ \Leftrightarrow⇔разные _
- Первая представляет собой логическую связку, используемую для образования формул высказываний.Истинностное значение образованной формулы зависит от того, имеют ли два связанных высказывания (или пропозициональные формулы) одинаковое истинностное значение;
- Последний используется для описания отношений эквивалентности в исчислении логической эквивалентности . Это обозначение отношений между высказываниями с одинаковым значением истинности. Здесь A ⇔ BA\Leftrightarrow{B}А⇔Б
- А ⇔ BA\Leftrightarrow{B}А⇔B представляет собойэквивалентное сложное предложениеppп :А ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Б –тавтология
- Причем эквивалентность и эквивалентность здесь отличны от эквивалентности в естественном языке.
- Эквивалентные связки ↔ \leftrightarrow↔Истинностное значение связанного сложного предложения зависит только от того, имеют ли два связанных предложения одинаковое истинностное значение, и не требует, чтобы они были неразрывно связаны (необязательно).
- Эквивалентность в естественном языке описывает одно и то же значение.
- Кроме того, знак равенства ⇔ \Leftrightarrow{}⇔Он также должен быть равен общему знаку равенства = == разница
-
Знак неравенства: ⇎ \not\Leftrightarrow.⇔
суждение об эквивалентности
метод таблицы истинности
- Из определения можно построить формулу A ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Является ли таблица истинности B всей 1, чтобы судить обA, BA, B.А ,Является ли B эквивалентным?
- Фактически, пока в последнем столбце таблицы истинности появляется 0, можно сделать прямой вывод, что A, BA, BА ,Б не равно
- Более упрощенный подход — наблюдать АА только в таблице истинности.А ,ББОдинакова ли истинностная ценность B в каждой строке, если она разная, это означаетA, BA, BА ,B не равно, иначе оно равно
- краткое содержание:
- А, БА, БА ,Эквивалент B (A ⇔ BA\Leftrightarrow{B}А⇔Необходимыми и достаточными условиями для B ) являются A, BA,BА ,Таблица истинности B та же самая (A ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔Б — тавтология)
Алгоритм эквивалентности
- См. следующий раздел для предзнаменований и введения.
Предложение произвольной замены
- 设ААA — пропозициональная формула, содержащая пропозициональные переменныеp 1 , ⋯ , pn p_1,\cdots,p_nп1,⋯,пн,又设A 1 , ⋯ , A n A_1,\cdots,A_nА1,⋯,Ан— произвольная пропозициональная формула для каждого i ( i знак равно 1 , ⋯ , n ) i(i=1,\cdots,n)я ( я"="1 ,⋯,п ) ,сцеплениеААВсе вхождения pi p_iв AпяЗамените все на A i A_iАя, полученная новая формула предложения помечается как BBБ
- Здесь не требуется , чтобы pi = A i p_i=A_iпя"="Ая, что отличается от эквивалентной замены в последующих правилах замены.
Заместительные свойства тавтологий и противоречий.
-
Согласно определениям тавтологии и противоречия, для любого присваивания истинностное значение тавтологии всегда равно 1, а истинностное значение противоречия всегда равно 0;
-
Для того же набора заданий ААА :
-
тавтология противоречивый А А=Б=1 А=Б=0
-
-
Молодой А.А.A — тавтология, то ее произвольное предложение о заменеBBB также является тавтологией.
-
Молодой А.А.A — противоречие, то его произвольное заменяющее предложениеBBB также является противоречием
-
-
Например, p ↔ ¬ pp\leftrightarrow{\neg{\neg{p}}}п↔¬ ¬ p — тавтология, так что она заменяет предложениеA ↔ ¬ ¬ AA\leftrightarrow{\neg{\neg{A}}}А↔¬ ¬ A тоже тавтология
Эквивалентный режим
- Назовите связь A ⇔ BA\Leftrightarrow{B}.А⇔Б — это проА, БА, Б.А ,Шаблон равенстваB , таблицы истинности формулы на обеих сторонах шаблона равенства одинаковы.
- То есть любые две формулы A, BA, B с одинаковой таблицей истинностиА ,B (А ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔B — тавтология), которую можно абстрагировать до шаблона равенства.
- Пусть формула FFF содержитAAФормулу А можно преобразовать в АА.Замените А на ББ.Б ,ФФТаблица истинности F та же самая.
Часто используемые шаблоны равенства
-
Закон двойного отрицания: A ⇔ ¬ AA\Leftrightarrow{\neg\neg{A}}А⇔¬¬ А
-
Закон равенства: A ⇔ A ∨ AA\Leftrightarrow{A\vee{A}}А⇔А∨А ,А ⇔ А ∧ AA\Leftrightarrow{A\wedge{A}}А⇔А∧А
-
Коммутативный закон: A ∨ B ⇔ B ∨ AA\vee{B}\Leftrightarrow{B\vee{A}}А∨Б⇔Б∨А ,А ∧ B ⇔ B ∧ AA\wedge{B}\Leftrightarrow{B\wedge{A}}А∧Б⇔Б∧А
-
结合律: ( А ∨ B ) ∨ C ⇔ A ( B ∨ C ) (A\vee{B})\vee{C}\Leftrightarrow{A(B\vee{C})}( А∨Б )∨С⇔А ( Б∨С )
-
Распределительный закон:
- А ∨ ( B ∧ C ) A\vee{(B\wedge{C})}А∨( Б∧C ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( А ∨ B ) ∧ ( А ∨ C ) (А\vee{B})\wedge{(A\vee{C})}( А∨Б )∧( А∨C ) (∨ \vee∨ против∧ \wedgeДистрибутивный закон ∧ )
- А ∧ ( B ∨ C ) A\wedge{(B\vee{C})}А∧( Б∨C ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( А ∧ B ) ∨ ( А ∧ C ) (A\wedge{B})\vee{(A\wedge{C})}( А∧Б )∨( А∧C ) (∧ \wedge∧ против∨ \veeДистрибутивный закон ∨ )
-
Закон ДеМоргана:
-
¬ ( А ∨ B ) \neg{(A\vee{B})}¬ ( А∨B ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ A ∧ ¬ B \neg{A}\wedge{\neg{B}}¬ А∧¬ Б
-
¬ ( А ∧ B ) \neg{(A\wedge{B})}¬ ( А∧B ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ A ∨ ¬ B \neg{A}\vee{\neg{B}}¬ А∨¬ Б
-
-
Закон поглощения:
-
А ∨ ( А ∧ B ) А\ве({А}\клин{В})А∨( А∧B ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ААА
-
А ∧ ( А ∨ B ) А\клин({А}\вее{В})А∧( А∨B ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ААА
-
-
Нулевой закон:
-
А ∨ 1 А\вее{1}А∨1 ⇔ \Leftrightarrow⇔ 1 11
-
А ∧ 0 А\клин{0}А∧0 ⇔ \Leftrightarrow⇔ 0 00
-
-
Закон идентичности:
- А ∨ 0 А\вее{0}А∨0 ⇔ \Leftrightarrow⇔ ААА
- А ∧ 1 А\клин{1}А∧1 ⇔ \Leftrightarrow⇔ ААА
-
Закон исключенного третьего:
- А ∨ ¬ AA\vee{\neg{A}}А∨¬ A ⇔ \Leftrightarrow⇔ 1 11
-
Закон противоречия:
- А ∧ ¬ AA\wedge{\neg{A}}А∧¬ A ⇔ \Leftrightarrow⇔ 0 00
-
импликационная эквивалентность
-
А → БА\к{В}А→B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ A ∨ B \neg{A}\vee{B}¬ А∨Б
-
анализировать
-
ААА БББ А → БА\к БА→Б Примечание 0 0 1 ¬ \neg{}¬ 0 1 1 ∨ \ ви∨ 1 0 0 ∨ \ ви∨ 1 1 1 ∨ \ ви∨ или∧ \клин∧ -
Очевидно , ¬ A ∨ B \neg{A}\vee{B}¬ А∨B удовлетворяет таблице истинности
-
ИА ∨ ¬ BA\vee{\neg{B}}А∨¬ Б , не удовлетворен
-
-
-
Эквивалентное уравнение:
-
А ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( А → Б ) ∧ ( Б → А ) (А\к{В})\клин{(В\к{А})}( А→Б )∧( Б→А ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ A ) (\neg{A}\vee{B})\wedge{(\neg{B}\vee{A})}( ¬ А∨Б )∧( ¬ Б∨А )
-
ААА БББ А ↔ BA\leftrightarrow BА↔Б Примечание 0 0 1 ¬ ( А ∨ B ) \neg(A\vee{B})¬ ( А∨B ) или ¬( A ∨ B ) \neg(A\vee{B})¬ ( А∨B ) или A→ BA\to BА→Б 0 1 0 ∧ \клин∧ , 1 0 0 ∧ , → \клин,\to∧ ,→ 1 1 1 ∨ \ ви∨ или∧ \клин∧или →\to→
-
-
Гипотетическая транслокация:
- А → БА\к{В}А→B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ B → ¬ A \neg{B}\to{\neg{A}}¬ Б→¬ А
- То есть обратное предложение эквивалентно
-
Эквивалентное отрицательное равенство:
- А ↔ BA\leftrightarrow{B}А↔B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ A ↔ ¬ B \neg{A}\leftrightarrow{\neg{B}}¬ А↔¬ Б
-
Ошибка редукции:
- ( А → B ) ∧ ( А → ¬ B ) (А\to{B})\wedge{(A\to{\neg{B}})}( А→Б )∧( А→¬ B ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ А \neg{A}¬ А
Исчисление эквивалентности
- Процесс вывода других эквивалентных формул путем получения эквивалентных формул (режим эквивалентной формулы) называется эквивалентным исчислением.
- Исчисление эквивалентности является важной частью булевой или логической алгебры.
Правила замены исчисления эквивалентности
- Формула замены: если φ ( A ) \phi(A)φ ( A ) — формулаAAПропозициональная формула A , φ ( B ) \phi(B)φ ( B ) выражается вBBРазмещение B φ ( A ) \phi(A)φ ( A ) среднийAAПропозициональная формула, полученная после (всех вхождений A )
- 若A ⇔ BA \Leftrightarrow {B}А⇔B ,则φ ( А ) \фи(А)φ ( А ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ φ ( Б ) \ фи(Б)φ ( Б ) ;
- Это очевидно, поскольку для любого набора значений A, BA, BА ,B эквивалентен, поэтому для пропозициональных формулφ ( A ), φ ( B ) \phi(A),\phi(B)φ ( А ) ,φ ( B ) то же самое
Пример замены шаблона равенства
- Аналогичным образом замените буквы с обеих сторон эквивалента шаблона (замените A i A_i с обеих сторон эквивалента шаблона).АяЗаменить формулой A i ′ A'_iАя', если одна сторона действительно соответствует букве, пропустите ее), то после подстановки новая формула предложения получится с обеих сторон, и обе стороны все равно останутся эквивалентными.
- Конкретная эквивалентная формула, полученная путем подстановки определенной формулы в шаблон равенства, называется экземпляром замены шаблона равенства.
- Например, шаблон равенства A → BA\to{B}А→B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ A ∨ B \neg{A}\vee{B}¬ А∨Б
- А, БА, БА ,B используетA = p, B = q A=p, B=qА"="п ,Б"="Подставив q , вы должны заменить экземплярp → qp\to{q}п→q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ p ∨ q \neg{p}\vee{q}¬ п∨д ,
- А, БА, БА ,B соответственно используетA = (p ∨ q ∨ r) A=(p\vee{q}\vee{r})А"="( п∨д∨р ) ,B знак равно ( п ∧ q ) B=(p\wedge{q})Б"="( п∧Подставьте q ) , чтобы получить экземпляр замены p ∨ q ∨ r ) → ( p ∧ q ) p\vee{q}\vee{r})\to{(p\wedge{q})}п∨д∨р )→( п∧q ) ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ ( п ∨ q ∨ р ) ∨ ( п ∧ q ) \neg{(p\vee{q}\vee{r})}\vee{(p\wedge{q})}¬ ( п∨д∨р )∨( п∧д )
Пример исчисления эквивалентности
-
Примените шаблоны равенства и правила замены, представленные ранее.
-
( п → q ) → р (p\to{q})\to{r}( п→д )→р
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( ¬ p ∨ q ) → r (\neg{p}\vee{q})\to{r}( ¬ р∨д )→р
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∨ р \neg{(\neg{p}\vee{q})}\vee{r}¬ ( ¬ п∨д )∨р
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( п ∧ ¬ q ) ∨ р (p\wedge{\neg{q}})\vee{r}( п∧¬ д )∨р
- ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( п ∨ р ) ∧ ( ¬ q ∨ р ) (p\vee{r})\wedge{(\neg{q}\vee{r})}( п∨р )∧( ¬ q∨р )
краткое содержание
-
Чтобы проверить эквивалентность двух пропозициональных формул, обычно удобнее использовать алгоритм эквивалентности, чем метод таблицы истинности.
-
Однако алгоритм эквивалентности не может напрямую проверить, что две формулы не равны.
-
Вы можете использовать алгоритм эквивалентности для упрощения, а затем объединить метод таблицы истинности (или привести примеры присваиваний, которые делают две формулы неравными), чтобы убедиться, что две формулы не равны.
-
例如( p → q ) → r (p\to{q})\to{r}( п→д )→r ⇎ \not\Leftrightarrow⇔ п → ( q → р ) p\to{(q\to{r})}п→( q→r ) , их можно упростить, чтобы они содержали только∨ , ∧ , ¬ \vee,\wedge,\neg∨ ,∧ ,¬Переосмысление трех основных логических связок.