DM@Пропозициональное исчисление эквивалентности формул@Общий режим эквивалентности

абстрактный

• Исчисление эквивалентности формул высказываний @ Режим общей эквивалентности

Эквивалентность

• $А\iff B$ представляет предложение равенства$п$ :$А\leftrightarrow Б$ –тавтология

  • Янг $А,B$ имеетту же таблицу истинности, что означает$А,B$ имеет одно и то же истинностное значение при любом присваивании, тогда согласно определению истинности эквивалентной связки сложная формула$А\leftrightarrow Истинное\; значение\; B$ всегда истинно, поэтому$А\leftrightarrow Б$ –тавтология
  • Напротив, если $А\leftrightarrow B$ — тавтология, основанная на эквивалентной связке↔ \leftrightarrowОпределение$\leftrightarrow$$А,B$ равен при любом присваивании, поэтому$А,B$ имеет ту же таблицу истинности

• Определение: Если $А,$Эквивалентность двух предложенийA ↔ BA\leftrightarrow{B$\}$$А\leftrightarrow B$ — тавтология, то$А,B$ эквивалентноизаписано как$А\iff Б$

• Символ $\leftrightarrow$ и$\iff разные$ _

  • Первая представляет собой логическую связку, используемую для образования формул высказываний.Истинностное значение образованной формулы зависит от того, имеют ли два связанных высказывания (или пропозициональные формулы) одинаковое истинностное значение;
  • Последний используется для описания отношений эквивалентности в исчислении логической эквивалентности . Это обозначение отношений между высказываниями с одинаковым значением истинности. Здесь $А\iff Б$
  • $А\iff B$ представляет собойэквивалентное сложное предложение$п$ :$А\leftrightarrow Б$ –тавтология
  • Причем эквивалентность и эквивалентность здесь отличны от эквивалентности в естественном языке.
    • Эквивалентные связки $\leftrightarrow Истинностное$ значение связанного сложного предложения зависит только от того, имеют ли два связанных предложения одинаковое истинностное значение, и не требует, чтобы они были неразрывно связаны (необязательно).
    • Эквивалентность в естественном языке описывает одно и то же значение.
  • Кроме того, знак равенства $\iff$Он также должен быть равен общему знаку равенства $=$ разница

• Знак неравенства: $\nLeftrightarrow$

суждение об эквивалентности

метод таблицы истинности

• Из определения можно построить формулу $А\leftrightarrow Является\; ли\; таблица\; истинности\; B$ всей 1, чтобы судить об$А,Является\; ли\; B$ эквивалентным?
  • Фактически, пока в последнем столбце таблицы истинности появляется 0, можно сделать прямой вывод, что $А,Б$ не равно
  • Более упрощенный подход — наблюдать $А$ ,$Одинакова\; ли\; истинностная\; ценность\; B$ в каждой строке, если она разная, это означает$А,B$ не равно, иначе оно равно
• краткое содержание:
  • $А,Эквивалент\; B$ ($А\iff$Необходимыми и достаточными условиями для$B$$А,Таблица\; истинности\; B$ та же самая ($А\leftrightarrow Б$ — тавтология)

Алгоритм эквивалентности

• См. следующий раздел для предзнаменований и введения.

Предложение произвольной замены

• 设$A$ — пропозициональная формула, содержащая пропозициональные переменные${п}_{},\cdots ,{п}_{}$,又设${А}_{},\cdots ,{А}_{}$— произвольная пропозициональная формула для каждого $я(я"="1,\cdots ,п)$ ,сцеплениеААВсе вхождения pi p_iв$A$${п}_{}$Замените все на ${А}_{}$, полученная новая формула предложения помечается как $Б$
• Здесь не требуется ${п}_{}"="{А}_{}$, что отличается от эквивалентной замены в последующих правилах замены.

Заместительные свойства тавтологий и противоречий.

• Согласно определениям тавтологии и противоречия, для любого присваивания истинностное значение тавтологии всегда равно 1, а истинностное значение противоречия всегда равно 0;

  • Для того же набора заданий $А$ :

    • 	тавтология	противоречивый
      А	А=Б=1	А=Б=0

  • Молодой $A$ — тавтология, то ее произвольное предложение о замене$B$ также является тавтологией.

  • Молодой $A$ — противоречие, то его произвольное заменяющее предложение$B$ также является противоречием

• Например, $п\leftrightarrow \neg \neg p$ — тавтология, так что она заменяет предложение$А\leftrightarrow \neg \neg A$ тоже тавтология

Эквивалентный режим

• Назовите связь $А\iff Б$ — это про$А,$Шаблон равенстваB$,$ таблицы истинности формулы на обеих сторонах шаблона равенства одинаковы.
• То есть любые две формулы A, BA, B с одинаковой таблицей истинности$А,B$ ($А\leftrightarrow B$ — тавтология), которую можно абстрагировать до шаблона равенства.
• Пусть формула $F$ содержитAAФормулу$А$ можно преобразовать в АА.Замените$А$$Б$ ,ФФТаблица истинности$F\; та\; же\; самая.$

Часто используемые шаблоны равенства

1. Закон двойного отрицания: $А\iff \neg \neg А$

2. Закон равенства: $А\iff А\vee А$ ,$А\iff А\wedge А$

3. Коммутативный закон: $А\vee Б\iff Б\vee А$ ,$А\wedge Б\iff Б\wedge А$

4. 结合律: $(А\vee Б)\vee С\iff А(Б\vee С)$

5. Распределительный закон:

   1. $А\vee (Б\wedge C)$ $\iff$ $(А\vee Б)\wedge (А\vee C)$ ($\vee$ против$Дистрибутивный\; закон\; \wedge$ )
   2. $А\wedge (Б\vee C)$ $\iff$ $(А\wedge Б)\vee (А\wedge C)$ ($\wedge$ против$Дистрибутивный\; закон\; \vee$ )

6. Закон ДеМоргана:

   • $\neg (А\vee B)$ $\iff$ $\neg А\wedge \neg Б$

   • $\neg (А\wedge B)$ $\iff$ $\neg А\vee \neg Б$

7. Закон поглощения:

   • $А\vee (А\wedge B)$ $\iff$ $А$

   • $А\wedge (А\vee B)$ $\iff$ $А$

8. Нулевой закон:

   • $А\vee 1$ $\iff$ $1$

   • $А\wedge 0$ $\iff$ $0$

9. Закон идентичности:

   • $А\vee 0$ $\iff$ $А$
   • $А\wedge 1$ $\iff$ $А$

10. Закон исключенного третьего:

    • $А\vee \neg A$ $\iff$ $1$

11. Закон противоречия:

    • $А\wedge \neg A$ $\iff$ $0$

12. импликационная эквивалентность

    • $А\to B$ $\iff$ $\neg А\vee Б$

    • анализировать

      • $А$	$Б$	$А\to Б$	Примечание
        0	0	1	$\neg$
        0	1	1	$\vee$
        1	0	0	$\vee$
        1	1	1	$\vee$ или$\wedge$

      • Очевидно $\neg А\vee B$ удовлетворяет таблице истинности

      • ИА $А\vee \neg Б$ , не удовлетворен

13. Эквивалентное уравнение:

    • $А\leftrightarrow B$ $\iff$ $(А\to Б)\wedge (Б\to А)$ $\iff$ $(\neg А\vee Б)\wedge (\neg Б\vee А)$

    • $А$	$Б$	$А\leftrightarrow Б$	Примечание
      0	0	1	$\neg (А\vee B)$ или ¬$\neg (А\vee B)$ или A$А\to Б$
      0	1	0	$\wedge$ ,
      1	0	0	$\wedge ,\to$
      1	1	1	$\vee$ или$\wedge или$ →$\to$

14. Гипотетическая транслокация:

    • $А\to B$ $\iff$ $\neg Б\to \neg А$
    • То есть обратное предложение эквивалентно

15. Эквивалентное отрицательное равенство:

    • $А\leftrightarrow B$ $\iff$ $\neg А\leftrightarrow \neg Б$

16. Ошибка редукции:

    • $(А\to Б)\wedge (А\to \neg B)$ $\iff$ $\neg А$

Исчисление эквивалентности

• Процесс вывода других эквивалентных формул путем получения эквивалентных формул (режим эквивалентной формулы) называется эквивалентным исчислением.
• Исчисление эквивалентности является важной частью булевой или логической алгебры.

Правила замены исчисления эквивалентности

• Формула замены: если $\phi \left(A\right)$ — формулаAAПропозициональная формула$A$$\phi \left(B\right)$ выражается вBBРазмещение$B$$\phi \left(A\right)$ среднийAAПропозициональная формула, полученная после (всех вхождений $A\; )$
  • 若$А\iff B$ ,则$\phi \left(А\right)$ $\iff$ $\phi \left(Б\right)$ ;
• Это очевидно, поскольку для любого набора значений $А,B$ эквивалентен, поэтому для пропозициональных формул$\phi \left(А\right),\phi \left(B\right)$ то же самое

Пример замены шаблона равенства

• Аналогичным образом замените буквы с обеих сторон эквивалента шаблона (замените ${А}_{}$Заменить формулой ${А}_{я}^{}$, если одна сторона действительно соответствует букве, пропустите ее), то после подстановки новая формула предложения получится с обеих сторон, и обе стороны все равно останутся эквивалентными.
• Конкретная эквивалентная формула, полученная путем подстановки определенной формулы в шаблон равенства, называется экземпляром замены шаблона равенства.
• Например, шаблон равенства $А\to B$ $\iff$ $\neg А\vee Б$
  • $А,B$ использует$А"="п,Б"="Подставив\; q$ , вы должны заменить экземпляр$п\to q$ $\iff$ $\neg п\vee д$ ,
  • $А,B$ соответственно использует$А"="(п\vee д\vee р)$ ,$Б"="(п\wedge$Подставьте$q$$)$$п\vee д\vee р)\to (п\wedge q)$ $\iff$ $\neg (п\vee д\vee р)\vee (п\wedge д)$

Пример исчисления эквивалентности

• Примените шаблоны равенства и правила замены, представленные ранее.

• $(п\to д)\to р$

  • $\iff$ $(\neg р\vee д)\to р$
  • $\iff$ $\neg (\neg п\vee д)\vee р$
  • $\iff$ $(п\wedge \neg д)\vee р$
  • $\iff$ $(п\vee р)\wedge (\neg q\vee р)$

краткое содержание

• Чтобы проверить эквивалентность двух пропозициональных формул, обычно удобнее использовать алгоритм эквивалентности, чем метод таблицы истинности.

• Однако алгоритм эквивалентности не может напрямую проверить, что две формулы не равны.

• Вы можете использовать алгоритм эквивалентности для упрощения, а затем объединить метод таблицы истинности (или привести примеры присваиваний, которые делают две формулы неравными), чтобы убедиться, что две формулы не равны.

• 例如$(п\to д)\to r$ $\nLeftrightarrow$ $п\to (q\to r)$ , их можно упростить, чтобы они содержали только$\vee ,\wedge ,\neg Переосмысление\; трех$ основных логических связок.