каталог
резюме
\ [\ Sum_ {I = 1} ^ п {я} = \ гидроразрыва {п (п + 1)} {2} \]
\ [\ sum_ {I = 1} ^ {п} {я ^ 2} = \ гидроразрыва {п (п + 1) (2n + 1)} {6} \]
\ [\ sum_ {I = 1} ^ {п} {я ^ 3} = \ гидроразрыва {п ^ 2 (п + 1) ^ 2} {4} \]
Будет \ (1 ^ х + 2 ^ х + 3 ^ х + \ cdots + п \ х) , что формула это?
Суммирование формула \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я} \) формулы
\ [1 + 2 + 3 + 4 + 5 \ cdots + п = \ sum_ {I = 1} ^ п {я} = \ гидроразрыва {п (п + 1)} {2} \]
В этом выражении:
\ (. 1 + 2 + 5. 4. 3 + \ п-cdots + \.) : Может быть отнесен к исходному выражению спроса
\ (\ sum_ 1} ^ {п-I = {Я} \.) : Называется выражение стенографии тип (короткая форма) , после того, как все исходные требования слишком долго , кто не хочет писать именно так.
$ \ Гидроразрыв {п (п + 1)} {2} $: известная формула , значение окончательного выражения формы может быть получено с помощью уравнения
Как доказать суммированием Simple \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я} \) уравнения является $ \ гидроразрыва {п (п + 1)} {2} $ это?
Доказательство:
\ [из - за: (. П + 1). ^ ^ П-2 + 2 = 2N + 1 \]
\ [получаем (п + 1) ^ 2n ^ 2 = 2n + 1 \ четырехъядерных \ cdots формула (п) \ ]
\ [^ п-2- (N- , . 1) ^ 2 = 2 (N- , . 1) +1 к \ Quad \ cdots формула (. 1-п) \]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [^ 2-2. 3 ^ 2 = 2 \ times2 + 1 \ четырехъядерных \ cdots формула (2) \]
\ [^ 2 ^ 2-1 = 2 2 \ times1 + 1 \ Quad \ cdots формула (1) \]
(П) Уравнение вместе с формулой (1) имеет формулу:
\ [(+ п-1) ^ 2 ^ 2-1 = 2 (1 + 2 + 3 \ п-cdots +.) = П-2 + \ sum_ { =. 1} ^ п-I {Я} п + \]
\ [^ п-2 + 2 = 2n + 1-1 \ sum_. 1 = {Я} {Я} ^ п-п + \]
\ [\ sum_. 1 = {Я } ^ п {я} = \ гидроразрыва {п (п + 1)} {2} \]
Во- вторых, суммирование \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я ^ 2} \) формулы
\ [1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 \ cdots + п ^ 2 = \ sum_ {I = 1} ^ п {я ^ 2} = \ гидроразрыва {п (п + 1 ) (2n + 1)} {6} \]
Как доказать простую формулу суммирования \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я ^ 2} \) формулы является $ \ гидроразрыва {п (п + 1) (2n + 1)} {6} $ это ?
Сертификат:
\ [(N +. 1) с 3н ^ = ^. 3 с 3N ^ + 2. 1 с 3N + \]
\ [^ п-3- (N- , . 1). 3 = ^. 3 (N- , . 1). 3 * + 2 (N- . 1) +1 к \]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [(. 3). 3 =. 3 ^ 3-2 ^ \ ^ 2 + times2. 3 \ times2. 1 + \]
\ [(2) ^ 3-1 ^. 3 = 3 \ times1 ^ 2 + 3
\ 1 раз + \] (п) уравнение вместе с формулой (1) имеет формулу:
. \ [(п-1 +) = ^ 3-1 ^ 3. 3 \ времена (1+ . 3 ^ 2 ^ + 2 + 2. 4. 3 + ^ \ ^ cdots + п-2) +3 \ Времена (+. 1. 4. 3 + 2 + \ n + N-cdots) n + \]
\ [= 3 . \ sum_ {Я = 1} ^ {п} {я
^ 2} +3 \ времени \ гидроразрыв {п (п + 1)} {2} + п \] , полученные таким образом:
. \ [\ sum_ 1 = {Я} {Я} ^ {п- ^ 2} = \ гидроразрыва {п (п + 1) (2n + 1)} {6} \]
В- третьих, суммирование \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я ^ 3} \) формулы
\ [1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 \ cdots + п ^ 3 = \ sum_ {I = 1} ^ п {я ^ 3} = \ гидроразрыва {п ^ 2 (п + 1) ^ 2} {4} \]
Как доказать суммированием Simple \ (\ сумма \ limits_ {я = 1} ^ п {я ^ 3} \) уравнения является $ \ гидроразрыва {п ^ 2 ( п + 1) ^ 2} {4} $ это?
Сертификат:
\ [(N +. 1). 4 ^ = ^ 4N 4N. 3 * + ^ 2 + 6N 4N +. 1 \]
\ [(п) ^ 4- (. 1-п) = ^. 4. 4 (. 1-н-) ^ +. 6. 3 (N- , . 1). 4 ^ 2 + (. 1-п) +1 к \]
\ [\ cdots \ cdots \]
\ [^ 4-2 ^. 4. 3. 4 = \ times2. 6 + ^. 3 \ 2 ^ times2 +4 \ times2 + 1 \]
\ [^ 2 ^ 4-1. 4. 4 = \ ^ times1. 6. 3 + \ ^ 2 + times1. 4 \ times1 + 1 \]
(п) уравнение добавляется к формуле (1) формула там до:
\ [(п + 1.) 4 ^ 4-1 ^ = 4 \ Times (1 + 2. 3 ^ + ^ 3. 3. 3 ^ + \ ^ п-cdots + 3...) +6 \ Times (1 + 2 ^ 2... . 3 ^ 2 + 2 ^ + \ ^ cdots + п-2) +4 \ Времена (+. 1. 4. 3 + 2 + \ + п-cdots) n + \]
\ [. 4 = \ Времена \ sum_. 1} = {Я ^ {п} {я ^ 3} +6 \ \ гидроразрыва Таймс {п (п + 1) (2n + 1)} {6} +4 \ \ гидроразрыва Таймс {п (п + 1)} {2} + п \ ]
Таким образом , получается:
\ [.. \ Sum_ 1 = {Я}} ^ {п = {Я} 3 ^ \ FRAC ^ {. П-2 (. П + 1) 4 ^ {2}} \]