1.B树

1.1.B树的定义

B树也称B-树,它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点，一般用字母m表示阶数。当m取2时，就是我们常见的二叉搜索树。

1.2：一颗m阶的B树定义如下：

每个节点最多有m-1个关键字
根节点最少可以只有一个关键字
非根节点至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字
每个节点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中所有的关键字都小于他，而右子树中所有的关键字都大于他。
所有叶子节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同

上图就是一颗4阶的B树。在实际应用中的B树的阶数m都非常大（通常大于100），所以即使存储大量的数据，B树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字（key）和关键字对应的数据（data），以及孩子结点的指针。我们将一个key和其对应的data称为一个记录。但为了方便描述，除非特别说明，后续文中就用key来代替（key, value）键值对这个整体。在数据库中我们将B树（和B+树）作为索引结构，可以加快查询速速，此时B树中的key就表示键，而data表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

1.3：B树的插入操作

插入操作就是插入一条记录，即(key,value)的键值对。如果B树中已经存在需要插入的键值对，则用需要插入的value替代旧的value。若B树不存在这个key，则一定是在叶子结点中进行插入操作。

根据要插入的key的值，找到叶子结点并插入。
判断当前结点key的个数是否小于等于m-1，若满足则结束，否则进行第3步。
以结点中间的key为中心分裂成左右两部分，然后将这个中间的key插入到父结点中，这个key的左子树指向分裂后的左半部分，这个key的右子支指向分裂后的右半部分，然后将当前结点指向父结点，继续进行第3步。

下面以5阶B树为例，介绍B树的插入操作，在5阶B树中，结点最多有4个key,最少有2个key

在实现B树的代码中，为了使代码编写更加容易，我们可以将节点中存储记录的数组长度定义为m而非m-1,这样方便底层节点由于分裂向上层插入一个记录时，上层有多余的位置存储这个记录。同时，每个节点还可以存储他的父节点的引用，这样不必编写递归程序。

一般来说，对于确定的m和确定类型的记录，结点大小是固定的，无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况，比如key为28,29所在的结点，还有2个key的位置没有使用，但是已经不可能继续在插入任何值了，因为这个结点的前序key是27,后继key是30,所有整数值都用完了。所以如果记录先按key的大小排好序，再插入到B树中，结点的使用率就会很低，最差情况下使用率仅为50%。

1.4：B树的删除操作

删除操作是指，根据key删除记录，如果B树中的记录中不存在对应key的记录，则删除失败

如果当前需要删除的key位于非叶子结点上，则用后继key（这里的后继key均指后继记录的意思）覆盖要删除的key，然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上，这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步
该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1，结束删除操作，否则执行第3步。(防止空间的浪费)
如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m/2)-1，则父结点中的key下移到该结点，兄弟结点中的一个key上移，删除操作结束。否则，将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第2步。有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

下面以5阶B树为例，介绍B树的删除操作，5阶B树中，结点最多有4个key,最少有2个key

2.B+树

2.1： B+树的定义

各种资料上B+树的定义各有不同，一种定义方式是关键字个数和孩子结点个数相同。这里我们采取维基百科上所定义的方式，即关键字个数比孩子结点个数小1，这种方式是和B树基本等价的。上图就是一颗阶数为4的B+树。

2.1：除此之外B+树还有以下的要求

B+树包含2种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。
B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。
m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字（或者说内部结点最多有m个子树），阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。
内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

2.2：B+树的插入操作

若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。
针对叶子类型结点：根据key值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第3步。
针对索引类型结点：若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个key，右结点包含m-(m-1)/2个key，将第m/2个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步

下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

2.3：B+树的删除操作

如果叶子结点中没有相应的key,则删除失败。否则执行下面的步骤

删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2) – 1，删除操作结束,否则执行第2步。
若兄弟结点key有富余（大于Math.ceil(m/2) – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的key替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的key，删除结束。否则执行第3步。
若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的key（父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第4步（第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。
若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2) – 1，则删除操作结束。否则执行第5步
若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步
当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。注意，通过B+树的删除操作后，索引结点中存在的key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。

下面是一颗5阶B树的删除过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。