35.数组中的逆序对
问题:
在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007
解决:
思想:
看到这个题目,我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿ta和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
(c)把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
(d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保 辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。
python代码:
# -*- coding:utf-8 -*-
import copy
class Solution:
def InversePairs(self, data):
return self.sort(data[:], 0, len(data)-1, data[:]) % 1000000007
def sort(self, temp, left, right, data):
### 先考虑每个分组只有一个元素的时候
if right - left < 1:
return 0
if right - left == 1:
if data[left] < data[right]:
return 0
else:
temp[left], temp[right] = data[right], data[left]
return 1
#### 分组
mid = (left + right) // 2
res = self.sort(data, left, mid, temp) + self.sort(data, mid+1, right, temp)
# 合并分组
i = left
j = mid + 1
index = left
while i <= mid and j <= right:
if data[i] <= data[j]:
temp[index] = data[i]
i += 1
else:
temp[index] = data[j]
res += mid +1-i
j += 1
index += 1
while i <= mid:
temp[index] = data[i]
i += 1
index += 1
while j <= right:
temp[index] = data[j]
j += 1
index += 1
return res