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一、旅行商问题概述
旅行商问题又称TSP问题，即给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。旅行商问题是一个经典的组合优化问题。早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。本文将使用蚁群算法来求解TSP问题。
二、蚁群算法概述
蚁群算法是一种用来寻找优化路径的概率型算法。这种算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。
三、蚁群算法参数设置
蚁群算法的alpha、beta、rho等参数的不同会对该算法的性能产生较大影响，为了得出最佳参数，本文将通过设置不同的参数值求解TSP问题，比较不同参数设置下蚁群算法的性能，进而得到最佳参数设置。初始设置参数alpha=3，beta=3，rho=0.2的情况下，TSP问题的求解结果为：
上图表示经过蚁群算法求解后得到的路线图，城市33为起点，城市16为终点。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离：20043.0476，最短路径为33(起点) -->9–>…–>5–>16(终点)。
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
1、参数alpha的设置对算法性能的影响
参数alpha为信息素重要程度因子，反映蚂蚁在运动过程中所积累的信息量在指导蚁群搜索中的重要程度。
（1）alpha设置为0.1
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离：22273.819，最短路径为16(起点) -->5–>…–>13–>7(终点)。
通过对比可发现，设置参数alpha比初始值（3）小了之后，算法收敛速度慢，容易使得蚁群的搜索过早陷入局部最优。
（2）alpha设置为5
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离为19631.6553，最短路径为4(起点) -->19–>…–>35–>28(终点)。
通过对比可发现，设置参数alpha比初始值（3）大了之后，算法过早收敛，信息素的重要性得到充分体现，蚂蚁选择以前走过路径的可能性增大，搜索的随机性变弱。
2、参数beta的设置对算法性能的影响
参数beta为启发函数重要程度因子，反映了启发式信息在指导蚁群搜索过程中的重要程度。
（1）beta设置为1
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离为20050.0606，最短路径为6(起点) -->17–>…–>8–>34(终点)。
通过对比可发现，设置参数beta比初始值（3）小了之后，蚂蚁群体陷入纯粹随机搜索，很难找到最优解。
（2）beta设置为7
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离为19631.6553，最短路径为26(起点) -->21–>…–>27–>30(终点)。
通过对比可发现，设置参数beta比初始值（3）大了之后，蚂蚁在某个局部点上选择局部最优的可能性增大，虽然收敛速度加快，但搜索最优解的随机性减弱，容易陷入局部最优。
3、参数rho的设置对算法性能的影响
参数rho为信息素挥发因子，rho的大小直接关系蚁群算法的全局搜索能力及收敛速度。
（1）rho设置为0.1
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离为19631.6553，最短路径为35(起点) -->28–>…–>15–>2(终点)。
通过对比可发现，设置参数rho比初始值（0.2）小了之后，蚂蚁在各路径残留的信息素过多，导致无效的路径继续被搜索，影响到算法的收敛速率。
（2）rho设置为0.7
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最短距离为19822.2633，最短路径为4(起点) -->19–>…–>35–>28(终点)。
通过对比可发现，设置参数rho比初始值（0.2）大了之后，无效的路径虽然可以被排除搜索，但是不能保证有效的路径也会被放弃搜索，影响到最优值的搜索，使得收敛速率降低，且会影响到算法的全局搜索能力。
4、最佳参数
经过多次迭代后，发现当参数alpha=1，beta=5，rho=0.5时，算法的性能最好。
最短路线为：
上图表示经过蚁群算法求解后得到的最优路线图，城市15为起点，城市24为终点。
上图表示蚁群算法求解得到的最短距离（下方图线）与所有蚂蚁路线的平均距离（上方图线）的对比。
上图表示经过蚁群算法迭代150次后得到的最优的最短距离为19631.6553，最短路径为15(起点) -->2–>…–>8–>24(终点)。
5、小结
不同参数设置对算法的影响较大，在对参数进行设置时，应从不同方面考虑，使得参数设置尽量合理化。
四、源代码
%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc
%% 导入数据
load citydatas.mat
%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i ~= j
D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
else
D(i,j) = 1e-4;
end
end
end
%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.5; % 信息素挥发因子
Q = 1; % 常系数
Eta = 1./D; % 启发函数
Tau = ones(n,n); % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n); % 路径记录表
iter = 1; % 迭代次数初值
iter_max = 150; % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路径的长度
Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路径的平均长度
%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
fprintf('迭代第%d次\n',iter);
% 随机产生各个蚂蚁的起点城市
start = zeros(m,1);
for i = 1:m
temp = randperm(n);
start(i) = temp(1);
end
Table(:,1) = start;
% 构建解空间
citys_index = 1:n;
% 逐个蚂蚁路径选择
for i = 1:m
% 逐个城市路径选择
for j = 2:n
tabu = Table(i,1:(j - 1)); % 已访问的城市集合(禁忌表)
allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合
P = allow;
% 计算城市间转移概率
for k = 1:length(allow)
P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
end
P = P/sum(P);
% 轮盘赌法选择下一个访问城市
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc >= rand);
target = allow(target_index(1));
Table(i,j) = target;
end
end
% 计算各个蚂蚁的路径距离
Length = zeros(m,1);
for i = 1:m
Route = Table(i,:);
for j = 1:(n - 1)
Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
end
Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
end
% 计算最短路径距离及平均距离
if iter == 1
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min_Length;
Length_ave(iter) = mean(Length);
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
Length_ave(iter) = mean(Length);
if Length_best(iter) == min_Length
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
end
end
% 更新信息素
Delta_Tau = zeros(n,n);
% 逐个蚂蚁计算
for i = 1:m
% 逐个城市计算
for j = 1:(n - 1)
Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
end
Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
end
Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
% 迭代次数加1，清空路径记录表
% figure;
%最佳路径的迭代变化过程
[Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
Shortest_Route = Route_best(index,:);
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
pause(0.3);
iter = iter + 1;
Table = zeros(m,n);
% end
end
%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')
