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1. 函数依赖（functional dependency，FD）
记 A->B 表示 A 函数决定 B，也可以说 B 函数依赖于 A。
在一个关系中，任意元组，若属性 A1,A2…An 一样，则属性 B1,B2…Bm 必一样，那么称 A1,A2…An 函数决定 B1,B2…Bm。
记号为 A1,A2...An → B1,B2...Bm Ai与Bi有函数依赖）
如果 {A1，A2，... ，An} 是关系的一个或多个属性的集合，该集合函数决定了关系的其它所有属性并且是最小集合，那么该集合就称为 键码。
对于 A->B，如果能找到 A 的真子集 A’，使得 A'-> B，那么 A->B 就是 部分函数依赖，否则就是 完全函数依赖。
对于 A->B，B->C，则 A->C 是一个传递函数依赖。
2. 异常
以下的学生课程关系的函数依赖为 {Sno, Cname} -> {Sname, Sdept, Mname, Grade}，键码为 {Sno, Cname}。也就是说，确定学生和课程之后，就能确定其它信息。
不符合范式的关系，会产生很多异常，主要有以下四种异常：
- 冗余数据：例如 学生-2 出现了两次。
- 修改异常：修改了一个记录中的信息，但是另一个记录中相同的信息却没有被修改。
- 删除异常：删除一个信息，那么也会丢失其它信息。例如删除了 课程-1 需要删除第一行和第三行，那么 学生-1 的信息就会丢失。
- 插入异常：例如想要插入一个学生的信息，如果这个学生还没选课，那么就无法插入。
3. 范式
范式理论是为了解决以上提到四种异常。
高级别范式的依赖于低级别的范式，1NF 是最低级别的范式。
第一范式 (1NF)
定义
属性不可分。可以认为任何表都属于第一范式，因为每个表的最小单位为表中的各个属性。
依赖关系
一般在分解之前，我们先求出所有候选键，从中挑选出一个作为主键，然后最小化函数依赖基本集。
键（key）：由关系的一个或多个属性组成，任意两个键相同的元组，所有属性都相同。需要保证表示键的属性最少。一个关系可以存在好几种键，工程中一般从这些候选键中选出一个作为主键（primary key）。候选键（prime attribute）：由关系的一个或多个属性组成，候选键都具备键的特征，都有资格成为主键。
以下面表结构为例：
候选键为 学号、课程、兴趣爱好 和 学号、授课主任、兴趣爱好，我们一般选一个作为主键。
即学号、课程、兴趣爱好（学号、授课主任、兴趣爱好）中任意两个组合都可以唯一决定一个元组/行
学生信息{学号，姓名，班级，兴趣爱好，班主任，课程，授课主任，分数}
依赖关系：
学号 → 姓名，班级 ;
班级 → 班主任 ;
学号，课程 → 分数 ;
课程 → 授课主任 ;
授课主任 → 课程
第二范式 (2NF)
定义
在满足第一范式前提下，在所有函数依赖表达式中，不存在 任何 候选键的真子集 决定 非主属性，
即消除 非主属性 对于 键 的 部分依赖。
分解依赖关系
还是使用上面的表：
候选键：{学号，兴趣爱好，课程}、{学号，兴趣爱好，授课主任}
主属性：学号、兴趣爱好、课程、授课主任（候选键中的属性）
非主属性：班级、姓名、班主任、分数
由于存在以下依赖关系
- 学号 → 姓名 ；
- 学号 → 班级 ；
- 学号 → 班级 → 班主任 ； （传递依赖）
- 学号，课程 → 分数
非主属性 由 候选键 的一部分决定，因此不满足第二范式，需要分解。
根据上面画的结构图分解为如下三张表：
- 学生信息 {学号，姓名，班级，班主任}
候选键：{学号} （原表的候选键 ：{学号，兴趣爱好，课程}、{学号，兴趣爱好，授课主任}）
主属性：学号 （原表的主属性：学号、兴趣爱好、课程、授课主任）
非主属性：姓名、班级、班主任 （原表的非主属性：班级、姓名、班主任、分数）
函数依赖在这上面的投影为：
学号 → 姓名 ；
学号 → 班级 ；
班级 → 班主任
由于
学号 → 姓名 ；
学号 → 班级 ；
学号 → 班级 → 班主任
非主属性由 候选键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
- 学生课程信息 {学号，课程，授课主任，分数}
候选键：{学号，课程}、{学号，授课主任}
主属性：学号、课程、授课主任
非主属性：分数
函数依赖在这上面的投影为：
学号，课程 → 分数 ；
由于非主属性由键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
- 学生课程及爱好信息 {学号，课程，兴趣爱好}
候选键：{学号，兴趣爱好，课程}
主属性：学号、兴趣爱好、课程
非主属性：无
函数依赖在这上面的投影为：无
由于非主属性（这里没有非主属性，必然满足）由键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
最终得到的分解结果如下：
对于分解结果：
-
对于冗余：极大地减少了数据的重复次数，不过仍然存在冗余
-
对于更新异常：若更换了13班的班主任，仅需要访问两个元组，比之前方便了点。
-
对于删除异常：若小明英语缺考，我们需删除学生课程信息的第二行，但同时也删除了赵英的信息，有风险。
第三范式（3NF）
定义
在满足第二范式前提下，在所有函数依赖表达式中，所有 非主属性 不传递依赖于 候选键，这里A → B ， B → C则称C传递依赖于A，
分解依赖关系
对于2NF分解结果中的第一个表学生信息 {学号，姓名，班级，班主任}
候选键：{学号}
主属性：学号
非主属性：姓名、班级、班主任
函数依赖：学号 → 姓名 ； 学号 → 班级 ； 班级 → 班主任
由于 学号 → 班级 → 班主任 存在 非主属性 传递依赖于 候选键，因此不满足第三范式，需要分解。
该表分解为如下两张表：
- 学生信息 {学号，姓名，班级}
候选键：{学号}
主属性：学号
非主属性：姓名、班级
函数依赖在这上面的投影为：
学号 → 姓名 ；
学号 → 班级
由于 不存在非主属性传递依赖于候选键，因此满足第三范式。
- 班主任信息 {班级，班主任}
候选键：{班级}
主属性：班级
非主属性：班主任
函数依赖在这上面的投影为：
班级 → 班主任
由于 不存在非主属性传递依赖于候选键，因此满足第三范式。
最终得到的分解结果如下：
分解效果：
-
对于冗余：极大地减少了数据的重复次数
-
对于更新异常：若更换了13班的班主任，仅需要访问一个元组，该异常消除了，但如果更换授课主任任然有异常。
-
对于删除异常：若删除某个班主任，仅访问一个元组，不存在风险。
