一、实数
整数:-3 -2 0 1 2
正整数 1 2 3
负整数-1 -2 -3
0 不属于 正整数 和负整数
自然数=（正整数、负整数、0）
小数 0.1 0.2
有限小数 1.3
无限小数（ 无限循环小数） 1.323232
无限小数( 无限不循环小数) 1.2321356767
相反数 若a+b=0 则互为相反数yu
倒数 若 ab=1 则ab互为倒数 0倒数是 0
绝对值
|a| =
a a>0
0 a=0
-a a<0
平方根 
若一个数a(a≥0）则这个数就成为a的平方根
=9 +3 -3 算数平方根则为正的3
二、练习
1.以下命题正确的是（ ）.
（A）两个数的和是正数，则这两个数都是正数
（B）两个数的差是负数，则这两个数都是负数
（C）两个数中较大的一个的绝对值也较大
（D）加上一个负数，等于减去这个数的绝对值
（E）一个数的两倍大于这个数本身
选 D 1+(-2)=1-|2|=1-2
2.设 a 与 b 之和的倒数的 2007 次方等于 1 ， a 的相反数与 b 的和的倒数
的 2009 次方也等于 1,则
+
=()
（A） 1 （B） 2 （C） 1 （D） 0 （E）
第一句表达式
=1 因为 
=1 所以可以推出 
=1 推出 a+b=1
第二句表达式
=1 推出 
=1 推出 -a+b=1
通过这俩个式子
a+b=1
-a+b=1
a=0 b=1
+
=0+1=1
选 C
3.一个大于 1 的自然数的算术平方根为 a ，则与该自然数左右相邻的两
个自然数的算术平方根分别是（ ）.
(A)
+1 
-1 (B)a-1，a+1 (C) 
，
(D) (E) 
-1 
+1
解：设自然数为X 
=a 俩边同时平方为 x=
左右相邻则为 x-1 x+1
因为x= 代入则为 -1 +1 算数平分根为 
， 
选 D
4.
= -a
(1) a>0 , b<0 (2) a<0 , b>0
=-a 则推出 -a≥0 b≥0 则 a≤0 b≥0
(1) ×
(2) √
选 B
5.已知
=-x
（A） x<0（B） x≥-2 （C） -2≤x≤0 （D） -2<x<0
第一个式子整理 
第二个式子 -x≥0 x+2≥0 则 -2≤x≤0
选 C
6.x>y
（1）若 x 和 y 都是正整数，且
<y
（2）若 x 和 y 都是正整数，且
<y
第一个式子 通过举反例 x=2 y=5 则 =4<5 但是不满足 x>y 条件 则不成立
第二 个式子 通过举反例 x=2 y=5 则
<y 但是不满足 x>y 条件 则不成立
（1）（2） 联合判断 x=2 y=5 不满足 x>y 条件 则不成立
选 E
三、有理数与无理数
(一) 定义
1. 有理数：能表示为两个整数之商形式的实数。 注：若m=
（ p, q 为非零整数），则 m为非零有理数。
2. 无理数：不能表示为两个整数之商形式的实数。
3. 常见的无理数：圆周率 π 、自然常数 e 
（ n 为开 k 次方开不尽的实数）。
(二) 性质
1. 有理数与有理数：和、差、积、商为有理数（求商时分母不为 0 ）。
2. 有理数与无理数
（1）一个有理数和一个无理数的和、差为无理数；
（2）一个非 0 有理数和一个无理数的积、商为无理数；
3. 无理数与无理数：和、差、积、商有可能是有理数，也有可能是无理数。
(三) 常用无理数估值
| π | e |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| 3.14 | 2.72 | 1.41 | 1.73 | 2.24 | 2.45 | 2.65 | 2.83 | 3.16 |
四、 运算
1. 分母有理化
（1）定义：在原式中分母为无理数，而将该分母化为有理数的过程称为分母有理化。
（2）常考形式
① 
= 
= 
② 
= 
= a
③
= 
= 
【例 8】求出下列式子的的小数部分
（1）
（2）
（3）
1. 俩边同时*
= 
=
=2
≈2... 套公式 m-[m] ，小数部分等于2
-2
2. = 
=
=
-1≈1...套公式 m-[m] -2
3. = 
=
=-1-
≈-2... 的最大整数部分为-3 则 -1- -(-3)=2-
※实数 m 的整数部分为不大于这个实数的最大整数，记作 [m] ，小数部分为m-[m] 。
2. 分子有理化
（1）定义：在原式中分子为无理数，而将该分子化为有理数的过程称为分子有理化。
（2）常考形式
1.
=
=
=
2.
+
=
=
=
3.
-
=
=
=
【例 9】比较
与 
的大小
=
=
=
=
=
=
>
五、有理系数方程
若 a 、 b 为有理数， λ为无理数且a+bλ=0,则a=b=0。
例10 若 x 、 y 为有理数，且(1+
)x+(3+
)y-4 =7 求解 x ， y 的值
x+
+3y+2
-4
-7=0
x+3y-7+
(x+2y-4)=0
套公式
x+3y-7=0
x+2y-4=0
x=-2
y=3
例 11若 x ， y 是有理数，且满足(1+2
)x+(1-
)y-2+5
=0,则 x ，y 的值分别为（ ）.
（A） 1 ， 3 （B） -1 ， 2 （C） -1 ， 3 （D） 1 ， 2 （E）以上选项均不正确
X+2
+y-
-2+5
=0
套公式
x+y-2+
(2x-y+5)=0
x+y-2=0
2x-y+5=0
3x+3=0
3x=-3
x=-1
把x=-1代入
-1+y-2=0
y-3=0
y=3
x=-1, y=3
选 C
六、指数运算
（一）运算意义
1. 若 b 为正整数，则 
表示 b 个 a 相乘，
=
=
表示 b 个
相乘 （a≠0）
2.若 b=
（其中 m ， n 为整数），则当 m＞0 时， =
（二）运算法则
1.
*
=
2.
÷
=
3.*
=
4.
=
例 12 化简下列各式
（1）
=1 （2） 
=2*2*2=8 （3） 
=
=
（4） 
= 套公式 =
（5）
=
=
（6） 
=
=
（7）
= 
=
（8）
=
=
=
未完待续。。。
