红黑树，看不懂你找我

一：什么是红黑树

红黑树是AVL树的一种流行变种，是具有以下五个特点的二叉查找树：

1. 每一个节点或者着成红色，或者着成黑色
2. 根是黑色
3. 每个叶节点Nil是黑色
4. 如果一个节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的
5. 每一条从某节点到某Nil指针的路径必须包含相同数目的黑色节点

二：关于红黑树的一般操作

对红黑树操作，最困难的就是保持上述的红黑树性质中的红色标记部分。

1.查找操作

红黑树是二叉查找树，所以其查找操作与一般的二叉查找树相同

• 令根节点为当前节点
• 当前节点为Nil，返回Nil
• 要找的值等于当前节点，返回当前节点
• 要找的值大于当前节点， 令右儿子为当前节点，重复步骤2
• 要找的值小于当前节点，令左儿子为当前节点，重复步骤2

操作的时间复杂度O(logN)

2. 插入操作

当我们想向树中插入一个新节点时，通常把这个节点作为叶节点插入。

Part1：
假设把这个点涂成黑色，那完了，肯定违反了条件5，因为本来任意的节点到某Nil指针的路径中黑色节点数是相同的，现在加上黑色节点的这条路径黑色节点数度肯定会+1，于是原来的条件被破坏了，因此，新加的节点必须被涂成红色。

Part2:
如果新插入的节点的父节点是黑色的，那么直接插入新的红节点就完事了

Part3:
如果新插入的节点的父节点是红色，那么条件4就被破坏了，这种情况下，我们必须在保持条件5不被破坏的同时，利用改变节点颜色以及树的旋转来满足所有条件。

2.1 新节点：我是红色的，我爹是红色的，我叔叔是黑色的

• 设置P为黑色
• 设置G为红色
• 进行右单旋转

• 设置X为黑色
• 设置G为红色
• 进行右双旋转

还有对称的两种情况，操作也是对称的

2.2 新节点：我是红色的，我爹是红色的，我叔叔也是红色的

• 把G节点设置为红色
• 把P节点设置为黑色
• 把S节点设置为黑色
  
• 把G节点设置为红色
• 把P节点设置为黑色
• 把S节点设置为黑色

这时候，如果G的父节点也是红的，那么G的颜色翻转的操作就会影响性质4，于是我们对G节点以及其父节点GP和父节点的兄弟节点GPS进行2.1所示的旋转操作。

注意如果G的父节点GP为红色，G父节点的兄弟节点GPS肯定不能为红色，只能为黑色，因为在红黑树中，不可能出现出现深度小于树的总深度且双兄弟都为红的情况，这种情况在其他的插入或删除过程中已经消除了。

GP刚好为根结点时，那么根据性质2，我们必须把GP重新设为黑色，那么树的红黑结构变为：黑黑红。换句话说，从根结点到叶子结点的路径中，黑色结点增加了。这也是唯一一种会增加红黑树黑色结点层数的插入情景。

还有对称的两种情况，操作也是对称的

难点来了，难点来了！！

其实不难

3.删除操作

删除操作一直一来是树这种ADT的难点所在

一般二叉搜索树的删除操作：

• 该节点为叶节点的情况：可以直接删除，将其父节点的儿子指针设为Nil
• 该节点只有一个非空子节点：可以直接删除，将其父节点的儿子指针指向其唯一儿子
• 该节点有两个非空子节点：用该节点左子树的最大节点或者右子树的最小节点替换该节点，然后删除对应的左子树最大节点或者右子树最小节点，最终可以回到前两种情况。

好，到这里你肯定还是明白的对吧

现在考虑红黑树的删除操作。

注意：
根据一般二叉搜索树的删除操作来看，我们要删除的节点其实不一定是最终从图中移出去的节点，称最终从图中移出去的节点为替代点，我们先从右子树的最小节点(或左子树的最大节点)找到我们的替代点，与删除点的值交换，但是颜色都不变，然后再删除替代点，然后对树的性质进行恢复。而现在这些替代点都是一些树的末节点（区别于叶节点，我们现在将Nil节点视为黑色叶节点），删除操作便会简化许多，并可以归纳为像插入那样的几个类别。当然了替代点和我们要删除的点也有可能是同一点，但处理方法是一样的。

我们虽然删除了替代点，但是我们对树进行恢复时，还是会将该替代点放在树中参与恢复，恢复完成后再移掉。

在本文中，示例都默认是选择右子树的最小节点作为真正删除点，也可以选择左子树的最大节点

3.1替代点是红色的

直接从树中去掉即可，不会影响红黑树的性质，算法直接结束

不会出现替代点为红色且有儿子为非叶子节点的情况，所以这种情况是最简单的

3.2替代点是黑色的

替代点是黑色，那么删除之后树的性质就被破坏了，需要进行修复

3.2.1 有一个儿子为且必须为红色时

当替代节点只有一个儿子且为红色时
直接用它的红色儿子节点取代它，并将颜色改为黑色，这样所有经过替代节点的路径都将经过他的儿子，黑色高度不变。

注意这跟上面图不一样，这张图D节点是替代节点

不可能存在只有一个儿子且儿子为黑色的情况，那样本身就是不平衡的

3.2.2 有两个黑色儿子

当替代点是黑色的且有两个黑色儿子(可以为叶节点Nil)时，那他肯定有兄弟，那么又可以分为其他几类

• 替代点是黑色，其兄弟节点是红色
• 替代点是黑色，其兄弟节点是黑色

3.2.2.1 替代点的兄弟节点是红色

• 将G节点也就是替代点的父节点设置为红色，
• 兄弟节点S设置为黑色
• 然后进行向左单旋转，

现在可以直接删掉D了吗？(以下都默认标识D为替代点) $\hspace4ex 不行，tan90\degree$

这个操作不改变任何路径的黑色高度，这时候删去D肯定会变的不平衡，我们只是把情况变为了兄弟节点为黑色的情况，也就是下面将要叙述的情况，我们接下来需要重新进入算法，进一步处理

3.2.2.2 替代点的兄弟节点是黑色

替代点D与其兄弟节点S都是黑色的，所以D的父节点颜色是不确定的，用绿色表示

又分为以下几种情况

3.2.2.2.1 当兄弟节点的两个儿子也都是黑色

PS：C1、C2可为Nil

• S节点颜色变为红
• G节点颜色变黑
• 把P作为新的替代点

假设G一开始是黑色的，这个操作过后，所有一开始经过S节点的路径黑色高度-1，那么在删除D后，所有经过D节点的路径黑色高度也会-1，结局竟该死的甜美，但是经过G的比不经过G的黑色高度减一了，所以再在G上重新平衡处理

假设G一开始是红色的，这个操作后，所有一开始经过S节点的路径黑色高度不变，经过D的路径黑色高度+1，那么在删除D后，所有经过D节点的路径黑色高度又变回来了，结局竟还是该死的甜美，经过G为根的子树已经平衡了，再在G上重新平衡处理

注意当G是树的根时，就表示我们已经做完了，我们从所有路径去除了一个黑色节点，所有性质在上溯过程中都保持着。

3.2.2.2.2 当兄弟节点的左儿子是红色的，右儿子是黑色

• C1设置为黑色
• S设置为红色
• 对S进行向右单旋转

这样的操作不改变任何路径的黑色高度，本来的平衡状态不变，所以删除D之后就破坏了原先的条件，还要进行自平衡变换，此时成了下面一种情况继续处理

3.2.2.2.3 当兄弟节点的右儿子是红色的，左儿子随意

• 交换G和S的颜色
• 设置兄弟节点的右儿子C2为黑色
• 进行向左单旋转

该操作使所有变化前经过S节点的路径黑色高度都不变，经过D的路径黑色高度+1，在删除D后，所有经过G节点的路径都不变，达到平衡

说白了删除就是不断递归变换直到满足替代点的删除条件。

例子：删除30根节点

练习一下吧，这里有个在线红黑树工具，戳

三：渐进边界的证明

包含n个内部节点的红黑树的高度是 $O(logn)$

定义：

${\displaystyle h(v)}表示以节点{\displaystyle v}为根的子树的高度。$
${\displaystyle bh(v)}表示从{\displaystyle v}到子树中任何叶子的黑色节点的数目$
$（如果{\displaystyle v}是黑色则不计数它，也叫做黑色高度）。$

$引理：以节点{\displaystyle v}为根的子树有至少2^{bh(v)}-1个内部节点。$
$引理的证明（通过归纳高度）：$

$归纳假设：$
$如果v的高度是零则它必定是NIL，因此{\displaystyle bh(v)=0}{\displaystyle bh(v)=0}。所以：2^{{bh(v)}}-1=2^{{0}}-1=0$

$如果h(v)=k，有2^{bh(v)}-1个内部节点成立$
$于是h(v')=k+1$
$因为v'有h(v')>0 \\所以它是个内部节点。同样的它有的两个儿子，其黑色高度要么是bh(v')要么是bh(v')-1（依据v'是红色还是黑色）。通过归纳假设每个儿子都有至少2^{{bh(v')-1}}-1个内部接点，所以v'有：$
$2^{bh(v')-1}-1+2^{bh(v')-1}-1+1=2^{bh(v')}-1个内部节点。$

$使用这个引理我们现在可以展示出树的高度是对数性的。\\ 因为在从根到叶子的任何路径上至少有一半的节点是黑色(根据红黑树性质4)，\\根的黑色高度至少是 {\frac {h(root)}{2}}通过引理我们得到：$

${\displaystyle n\geqslant 2^{\frac {h(root)}{2}}-1\leftrightarrow \;\log {(n+1)}\geqslant {\frac {h(root)}{2}}\leftrightarrow \;h(root)\leqslant 2\log {(n+1)}}n\geqslant 2^{{{\frac {h(root)}{2}}}}-1\leftrightarrow \;\log {(n+1)}\geqslant {\frac {h(root)}{2}}\leftrightarrow \;h(root)\leqslant 2\log {(n+1)}$

$因此根的高度是{\displaystyle {\text{O}}(\log n)}$