贪心算法的理论基础
定义：
在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。
贪心算法不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。
如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。
理论基础：
贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，希望得到结果是最好或最优的算法。
贪心算法是一种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法，通过一系列的选择得到一个问题的解，而它所做的每一次选择都是当前状态下某种意义的最好选择。即希望通过问题的局部最优解求出整个问题的最优解。
这种策略是一种很简洁的方法，对许多问题它能产生整体最优解，但不能保证总是有效，因为它不是对所有问题都能得到整体最优解。
利用贪心策略解题，需要解决两个问题：
（1）该题是否适合于用贪心策略求解；
（2）如何选择贪心标准，以得到问题的最优/较优解。
与动态规划的区别：
贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。
这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
（1）在动态规划算法中，每步所做的选择往往依赖于相关子问题的解，因而只有在解出相关子问题后，才能做出选择。
（2）在贪心算法中，仅在当前状态下做出最好选择，即局部最优选择，然后再去解出这个选择后产生的相应的子问题。
- 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。
运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。 - 贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。
- 贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。
- 动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题。
贪心算法解题：
使用贪心算法求解问题应该考虑如下几个方面：
（1）候选集合A：
为了构造问题的解决方案，有一个候选集合A作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合A。
（2）解集合S：
随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直到构成满足问题的完整解。
（3）解决函数solution：
检查解集合S是否构成问题的完整解。
（4）选择函数select：
即贪心策略，这是贪心法的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标函数有关。
（5）可行函数feasible：
检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。
典型例题
一、活动安排问题
【问题】
设有n个活动的集合E＝{1，2，…，n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。
每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si＜fi。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si ，fi )内占用资源。若区间[si ，fi )与区间[sj，fj )不相交，则称活动i与活动j是相容的。当 si ≥ fj 或 sj ≥ fi 时，活动i与活动j相容。
活动安排问题就是在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。
【分析】
将所有的活动按时间顺序排序，从前往后取。
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int s; //起始时间
int f; //结束时间
int index; //活动的编号
}a[100010];
int n;
int ss,ee;
int cmp(node a,node b)
{
if(a.s!=b.s)
return a.s<b.s;
else
return a.f<b.f;
}
vector<int>v;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i].s>>a[i].f;
a[i].index=i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
int tmp=1;
v.push_back(a[1].index);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i].s>=a[tmp].f)
{
v.push_back(a[i].index);
tmp=i;
}
}
for(int i=0;i<v.size();i++)
cout<<v[i]<<" ";
cout<<endl;
return 0;
}
二、背包问题
【问题】
给定一个载重量为M的背包，考虑n个物品，其中第i个物品的重量 ，价值wi （1≤i≤n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。
有两类背包问题（根据物品是否可以分割），如果物品不可以分割，称为0—1背包问题（动态规划）；如果物品可以分割，则称为背包问题（贪心算法）。
【分析】
有3种方法来选取物品：
（1）当作0—1背包问题，用动态规划算法，获得最优值220；
（2）当作0—1背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底顺序选取物品，获得最优值160。由于物品不可分割，剩下的空间白白浪费。
（3）当作背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底的顺序选取物品，获得最优值240。由于物品可以分割，剩下的空间装入物品3的一部分，而获得了更好的性能。
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
double value,weight,tmp;
int index;
} a[100010];
int n;
double sum;
double ww;
int cmp(node a,node b)
{
return a.tmp>b.tmp;
}
vector<int>v;
int main()
{
cin>>n;
cin>>ww;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
cin>>a[i].value>>a[i].weight;
a[i].tmp=a[i].value/a[i].weight;
a[i].index=i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
double x=0;
int cnt=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(x<ww)
{
x+=a[i].weight;
sum+=a[i].value;
v.push_back(a[i].index);
cnt=i;
}
}
if(x>ww)
sum-=(x-ww)/a[cnt].weight*a[cnt].value;
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
