浅谈：从最大公约数到不定方程

先讲一个很基础的事实

我之前曾经证明过 $(a,b) = (a,b+a)$

具体请看这里：点击传送

同样的道理，我也有 $(a,b) = (a,b-a)$

为了避免一些不必要的麻烦，所有的最大公约数我都定义为正数，并且我们避免讨论 $(0,0)$

上面两个式子意味着什么呢？

意味着 $(a,b) = (a,b+ka)$

那么也就可以导出我们的辗转相除公式：

$(a,b) = (a, b\ mod\ a)$

因为取模其实就是减去若干个 $a$

裴蜀定理的内容

最简洁的表达就一句话：对于 $a,b \in N^*,x,y \in Z$， $ax+by=(a,b)$一定有解

分析一下，令 $g=(a,b)$

扫描二维码关注公众号，回复： 10418253 查看本文章

既然 $ax+by=g$有解，那么肯定 $ax+by=2g,3g,\dots$也有解， $ax+by=-g,-2g,-3g,\dots$也有解

那么换句话说， $f(x,y) = ax+by$的值域是 $\{\dots,-3g,-2g,-g,0,g,2g,3g,\dots\}$

证明1

这个思路来自百度百科，点击查看原文

令 $g = (a,b)$

假设 $a,b$的线性组合能得到的最小正整数为 $s=ax_s+by_s$，因为 $g|a,g|b$，所以 $g|s$

令 $r = a\ mod\ s$，设 $q = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor$，则 $r = a - qs = a(1-x_s)+b(-y_s)$，所以 $r$也是 $a,b$的线性组合

显然 $r \in [0,s)$，而刚才已经假设 $s$是线性组合得到的最小正整数，所以必有 $r=0$

那么 $s|a$，同理 $s|b$，所以 $s|g$

而最开始说了 $g|s$

所以 $s=g$

证明2

我们将会用这个式子建立一个递推： $(a,b) = (b,a\ mod\ b)$，进而证明裴蜀定理

假设要求的是 $ax+by = (a,b)$中的 $(x,y)$，已知的是 $bx'+(a\ mod\ b)y' = (a,b)$中的 $(x',y')$

现在令 $ax+by = bx'+(a \mod b)y'$

用 $a-b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$代替 $a\ mod\ b$，可以把右端整理成 $a(y')+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')$

进而得到 $x = y', y=(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')$

这是一个递归的过程，最终状态是 $(a,b) = b$，令这个时候的 $x=0,y=1$即可倒推出最初方程的解

在上述算法进行过程中，我们就已经求出了一组 $(x,y)$使得 $ax+by=(a,b)$，而根据算法过程可以发现这个算法肯定是可以一直进行到底的，所以解肯定存在，也就证明了裴蜀定理

多个正整数的线性组合的值域

假设我们有 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$，设 $g = (a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)$

同样设 $s$为线性组合能得到的最小正整数

同样，首先 $g|s$

同样，得到 $r = a_1 \ mod\ s$是 $a_1,a_2,\dots,a_n$的线性组合，同样得到 $r \in [0,s)$

同样推出 $r=0$

同样得到 $s|a_i$，同样得到 $s = g$

因此这个线性组合的值域同样还是 $\{\dots,-3g,-2g,-g,0,g,2g,3g,\dots\}$

不定方程 $ax+by=c$的解法

既然 $ax+by$的值域是 $\{kg\}$，那么 $c \in \{kg\}$就是方程 $ax+by=c$有解的充要条件

我们先找到 $ax+by=(a,b)$的一组解 $(x_0,y_0)$，用到的方法就是上面介绍的递归方法

显然 $\frac{c}{g}(x_0,y_0)$就是一个原方程的解

但是很多应用场景需要我们求出 $x_0$的最小正整数解，所以这个时候就要研究方程的解集

举个例子就会发现 $ax+by=c$的解集比 $ax+by=(a,b)$的解集更大，比如 $a=2,b=4,c=8$，那么 $x=2,y=1$是 $2x+4y=8$的解，却不是 $x+2y=4$的解

因为你把解缩小一半之后得到的是 $x=1,y=\frac{1}{2}$，虽然也满足方程 $x+2y=4$，却不是整数解，所以从 $ax+by = (a,b)$入手不合适

假设 $x$已经确定了，那么可以得到 $y = \frac{c-ax}{b}$，为了让 $y$是一个整数，必须 $c \equiv ax(\mod b)$

这个方程看起来把 $a$除过去就能解出 $x$了，为了能除过去，我们需要逆元存在，根据已知条件，假设 $c=c'g$，接着令 $a=a'g,b=b'g$，那么上述方程就是 $c' \equiv a'x (\mod b')$（注意这一步没有让解集发生变化，因为我把方程的左右两端都除以了一个数）

这个时候 $(a',b')=1$，就可以求出 $x = c'a'^{-1}$

而根据 $c' \equiv a'x (\mod b')$还可以得到 $a(x_1-x_2) \equiv 0 (\mod b')$

也就是任意两个解的差是 $b'$的整数倍

假设 $x_0,y_0$是 $a'x+b'y=c'$的一组解，可以发现 $x_0+b',y_0-a'$也是解，这就是说我找到了 $a'x+b'y=c'$的解集： $x_0+kb',y_0-ka'$

那么问题就成了怎么找到一组 $x_0,y_0$，使得 $a'x_0+b'y_0=c'$

这个问题其实很简单，我们使用证明2中介绍的递归方法，就可以找到 $a'x+b'y=1$的一组解，再同时乘以 $c'$就能得到 $a'x+b'y=c'$的一组解了

求不定方程 $ax+by=c$解集的算法流程

经过如上分析，最终我们可以得到一个求方程 $ax+by=c$解系的完整方案：

如果 $c$不是 $(a,b)$的倍数，无解，否则：

令 $g=(a,b),a'=a/g,b'=b/g,c'=c/g$

先用递归方法求出一组 $x_0,y_0$使得 $a'x_0+b'y_0=c'$，那么解集就是

$x = x_0c' + kb' \\ y = y_0c' + ka'$