数据结构 -- AVL树

AVL树

• AVL树是带平衡条件的平衡二叉树
• 平衡条件：其每个节点的左子树和右子树的高度
• 这是一个AVL树
  
• 这就不是一个AVL树了
  

解决AVL树插入节点后破坏平衡条件

• 通过旋转方式改变AVL树的节点，达到平衡。
• 我们把必须重新平衡的节点叫做a，由于任意节点最多有两个儿子，因此出现高度不平衡就需要a点的两棵子树的高度差2，容易看出这种不平衡可能出现在下面四种情况中：
• 1、对a的左儿子的左子树进行一次插入 – （左 - 左）
• 2、对a的左儿子的右子树进行一次插入 – （左 - 右）
• 3、对a的右儿子的左子树进行一次插入 – （右 - 左）
• 4、对a的右儿子的右子树进行一次插入 – （右 - 右）

其中对于 1和4 我们采用单旋转，对于2和3我们采用双旋转来解决这个问题，实现新的AVL树

单旋转

插入节点6之后整个avl树破坏了平衡节点，在节点8处。这里的a就是8。这里属于（左- 左）情况，我们将8节点定义为k1，将7节点定义为k2，现在将k2放到k1的位置，解决了。

• 同理对于情形4也是同理
• 小结：我们将a节点设为k1，将a节点的下一个节点设为k2，之后将k2的位置放到k1后，重新节点分配就形成了新的AVL树，这里还有一个小知识点是当插入的节点数值不在k1和k2之间时，那么就会是情形1和情形4，同时用单旋转解决。

双旋转

• 这里用于解决情形2和情形3（也就是左-右和右-左）。双旋转实际上就是两次单旋转
• 这里将a（7）设为k1，k1下面的点为k3，k3下面的点为k2。将k2的节点放到a的位置上，其他节点重新排布。造成需要双旋转的节点的数值一定在k1和k3之间
  
• 在这里7是k1,16是k3，15是k2。
• 按照上述步骤解决，这个是右-左，同理左-右也是一样的。
  

实现代码

AVL树的数据结构

• 这是一个内部类

public static class AvlNode<T>{
    
    AvlNode node;
    AvlNode<T> rnode;
    AvlNode<T> lnode;
    Integer height;
    AvlNode(AvlNode node){
        this(node,null,null);
    }
    AvlNode(AvlNode node,AvlNode<T> lnode,AvlNode<T> rnode){
        this.node = node;
        this.rnode = rnode;
        this.lnode = lnode;
    }
}

单旋转

• 这里面相当于是传入节点的左边部分放到上面，交换节点。

 private AvlNode<T> rotateWithLeftChild(AvlNode<T> k2){
   AvlNode<T> k1 = k2.lnode;
   k2.lnode = k1.rnode;
   k1.rnode = k2;
   k2.height = Math.max(height(k2.lnode),height(k2.rnode))+1;
   k1.height = Math.max(height(k1.lnode),height(k1.rnode))+1;
   return k1;
}

• 同理，右边旋转

private AvlNode<T> rotateWithRightChild(AvlNode<T> k2){
   AvlNode<t> k1 = k2.rnode;
   k2.rnode = k1.lnode;
   k1.lnode = k2;
   k2.height = Math.max(height(k2.lnode),height(k2.rnode))+1;
   k1.height = Math.max(height(k1.lnode),height(k1.rnode))+1;
   return k1;
}

计算高度

public Integer height(AvlNode<T> t ){
   return t == null?-1:t.height;
}

双旋转

private AvlNode<T> doubleWithLeftChild(AvlNode<T> k3){
   k3.lnode = rotateWithRightChild(k3.lnode);
   return rotateWithLeftChild(k3);
}

private AvlNode<T> doubleWithRightChild(AvlNode<T> k3){
   k3.lnode = rotateWithLeftChild(k3.lnode);
    return rotateWithRightChild(k3)
}