1.设\(A\subset\mathbb R^n,m^*(A)=0,\)证明,对于\(\forall B\subset\mathbb R^n\)有\[m^*(A\cup B)=m^*(B).\]
2.证明\(\mathbb R^n\)中任意有界集\(E\)的外测度有限.
3.设\(A,B\subset\mathbb R^n,m^*(A),m^*(B)<\infty,\)试证明\[|m^*(A)-m^*(B)|\leq m^*(A\setminus B)+m^*(B\setminus A).\]
4.设\(E=\{(\xi,\eta)|\xi,\eta\)之一是有理数\(\}\subset\mathbb R^2,\)求\(m^*(E).\)
5.已知\(E\subset\mathbb R,m^*(E)>a>0,\)证明存在子集\(A\subset E,\)使\(m^*(A)=a.\)
1.\(m*(B)\leq m*(A\cup B)\leq m^*(A)+m^*(B).\)
2.\(E\subset(-M,M)^n,m^*(E)\leq 2^nM^n.\)
3.\(m^*(A)-m^*(B)\leq m^*(A\setminus B)+m^*(A\cap B)-m^*(B)\leq m^*(A\setminus B).\)
4.\(m^*(E)=0.\)
5.\(f(x)=m^*(E\cap(-\infty,x)),\forall\Delta x>0,f(x+\Delta x)-f(x)\leq m^*(E\cap[x,x+\Delta x))\leq\Delta x.\)