【13】 二分查找（下）：如何快速定位IP对应的省份地址？

1. 四种常见的二分查找变形问题

1.1. 查找第一个值等于给定值的元素

代码实现

//方法一
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }

  if (low < n && a[low]==value) return low;
  else return -1;
}

//方法二
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

1.2. 查找最后一个值等于给定值的元素

代码实现

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

1.3. 查找第一个大于等于给定值的元素

代码实现

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

1.4. 查找最后一个小于等于给定值的元素

代码实现

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

2. 适用性分析

1. 凡事能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2. 求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么用到，二分查找更适合用在”近似“查找问题上。比如上面讲几种变体。
3. 变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生 Bug，这些容易出错的细节有：终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。

3. 思考

1. 如何快速定位出一个IP地址的归属地？
   [202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
   [202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
   [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
   [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
   [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
   [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港
   假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？
   答：
   如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。
   然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。
   当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。
2. 如果有一个有序循环数组，比如4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法？
   答：有三种方法查找循环有序数组
   方法一：
3. 找到分界下标，分成两个有序数组
4. 判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找
   方法二：
5. 找到最大值的下标 x;
6. 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;
7. 利用偏移后的下标做二分查找；
8. 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。
   两种情况最高时耗都在查找分界点上，所以时间复杂度是 O(N）。
   复杂度有点高，能否优化呢？
   方法三：
   我们发现循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
   如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
   如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
   如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
   如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。
   时间复杂度为 O(logN)。

4. 参考资料

1. 王争老师在极客时间的专栏《数据结构与算法之美》
2. 专栏下的所有评论

5. 声明

本文章是学习王争老师在极客时间专栏——《数据结构与算法之美》的学习总结，文章很多内容直接引用了专栏下的回复，推荐大家购买王争老师的专栏进行更加详细的学习。本文仅供学习使用，勿作他用，如侵犯权益，请联系我，立即删除。