【Lintcode】1859. Minimum Amplitude

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/minimum-amplitude/description

给定一个数组，定义振幅为数组最大值与最小值之差。每一步操作允许将数组中的某个数变为任意一个数。问对该数组做三次操作，能达到的最小振幅是多少。

主要思路是这样的。由于改变数字要使得振幅减少，所以我们倾向于改变最大值或者最小值，所以我们先对数组排序。接下来的问题是怎么改。如果数组长度小于等于 $4$，那么只需要将其中的数全改成和某一个一样即可，此时振幅变为 $0$，是最优情况。否则我们可以猜出，只需穷举删除两端数字的所有情况即可。而删除两端的三个数，之后得到的振幅是非常方便计算的。例如，对于 $(0, 1, 5, 10, 14)$，我们可以枚举右边删三个左边不删，得 $1-0=1$，再枚举右边删两个左边删一个，得 $5-1=4$，再枚举右边删一个左边删两个，得 $10-5=5$，最后枚举左边删三个得 $14-10=4$。我们看出，只需从左向右算长度为 $5-3=2$的区间的振幅即可。详细证明附在后面，代码如下：

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    /**
     * @param A: a list of integer
     * @return: Return the smallest amplitude
     */
    public int MinimumAmplitude(int[] A) {
        // write your code here
        if (A == null || A.length <= 4) {
            return 0;
        }
        // 先排序，使得最大值最小值产生在两端
        Arrays.sort(A);
        int l = 0, r = A.length - 1;
        // 初始化最终结果为无穷大，然后更新这个值
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        // 分别枚举左端删i个数，右边删3 - i个数的振幅，更新res
        for (int i = 0; i <= 3; i++) {
            res = Math.min(res, A[r - (3 - i)] - A[l + i]);
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间 $O(1)$。

算法正确性证明：
我们可以证明一般的结论。先证明，在数组长度为 $n$且已排序的情况下，枚举左右端总共删除 $k$个数（ $n>k$）的 $k+1$种情况即可得到正确答案。
反证法：假设按照上面的方法得到的答案不能枚举到最优的解，也就是说存在一种上述删除方法之外的方法能得到更小的振幅。那么意味着，这些删除的数字中至少存在一个数，要么其左边存在未删除的数字，要么其右边存在未删除的数字（如果不存在这样的数的话，意味着删除的数字全是在边界处且构成一条”线段“，而这样的删除方式是会被枚举到的，与假设矛盾），不妨设 $x$右边有未删除的数字。我们构造出一个更优方案，在删除 $x$时，我们不选择删 $x$，而选择删 $x$右边的那个未删除的数中最右边的那个数，这样就得到了更小的振幅，与假设矛盾。所以结论正确。

接下来注意到一个显然的结论，给 $k$次删数的机会，会得到的最小振幅不会比给改 $k$个数的机会，得到的最小振幅更大。因为数字越少，显然振幅就越小，所以删数只会得到更好的解。

最后的逻辑只需要证明，改 $k$个数能得到删 $k$个数的最优解即可。因为 $n>k$，所以可以把删数的操作转变为，将所删的数改成最后最优解中未被删除的数中的其中一个。这样就可以达到删 $k$个数的最优解。

综上所述，证明完毕。