一.记几个性质\(/\)结论\(/\)奇怪的东西
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1.若干个数两两异或的最小值必在排序后相邻两个取到
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2.贝叶斯公式 \(p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}=\frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}\)
二.例题
A.
根据期望的线性性，单独考虑每种颜色的贡献
先考虑绿球，由于我们只考虑蓝绿之间的先后关系，此时不用考虑红球
考虑第一次摸到蓝球之前摸了几个绿球
可以列出柿子 \(E=\frac{G}{B+G}(E+1)\rightarrow E=\frac{G}{B}\)
那么绿球的总期望就是 \(\frac{kG}{B}\)
再考虑红球，我们对每个红球考虑它被拿的概率
对于一次取了红或蓝的操作，某个红球没有被拿出的概率是 \(\frac{B}{B+1}\)
那么某个红球最终没有被拿出来的概率就是 \((\frac{B}{B+1})^k\)
所以答案是 \(k+\frac{kG}{B}+R(1-(\frac{B}{B+1})^k)\)
B.【UOJ#299】游戏
考虑维护每个被已知点隔开的区间的答案，显然的每次操作相当于合并\(/\)分裂区间
同样考虑每个点的贡献
由于每个点的贡献只和左边有关且需要支持合并，所以考虑维护区间左右状态分别为 \(A,B\) 的答案
用贝叶斯公式化一下每个点的贡献 \(P(x|(AB))=\frac{P((XB)|A)}{P(AB)}\)
分母可以很容易用线段树维护矩阵得到，考虑分子
考虑在线段树上维护 \(E(A,B),P(A,B)\) 表示左右分别为 \(A,B\) 时的期望和概率
同样线段树维护矩阵，很容易在线段树上合并
C.AGC035D
题意就是找一个不为左右端点的点然后把他的权值加到两边的点上
发现最终的答案一定是 \(\sum\limits_{i=1}^n a_ival_i\) 的形式
设 \(dp[l][r][a][b]\) 表示区间 \([l,r]\) 中，\(a_l=a,a_r=b\) 的最小值
枚举分界点，有 \(dp[l][r][a][b]=\min\limits_{i=l}^r(dp[l][i][a][a+b]+dp[i][r][a+b][b]-val[a]\times(a+b))\)
D.CF765F
考虑所有对于一个右端点 \(r\) 有贡献的点 \(l\) 且 \(a_r>a_l\)
显然的对于 \(l1>l2>l3>...>l_k\) 有 \(a_{l_1}<a_{l_2}<a_{l_3}<...<a_{l_k}\)
而且 \(a_r-a_{l_i}>a_i-a_{l_{i-1}}\) 所以 \(2a_{l_i}<a_r+a_{l_{i-1}}\)
发现 \(a_{l_i}\) 每次折半，所以最多有 \(log\) 个 \(l\)，直接找出来就行
E.
枚举有多少位 \(<L\) 来容斥
设 \(dp(b,A,B,m,n)\) 表示 \(>b\) 位已经满足，现在有 \(m\) 个位置 \(lim=A\)，其余位置 \(lim=B\) 的方案数
转移时直接分类讨论
若所有 \(lim\ge 2^b\) 的点都选了这一位，直接递归求解 \(dp(b-1,A\ge 2^b?A-2^b:A,B\ge 2^b?B-2^b:B,m,n)\)
否则出现了一个数可以取任意值，那么剩下的位其他数都可以随便选了
然后我们需要让他满足这一位的要求，这个可以矩乘快速幂优化 \(dp\)
那么答案就是 \(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}dp(30,L-1,R,i,n-i)\)
然后考虑分类讨论的两种情况
对第一种有影响的只有 \(i\) 是否为 \(0\)
第二种相当于在 \(n\) 个点里选 \(i\) 个点然后容斥
我们可以把这个选择也放到 \(dp\) 转移中，修改一下矩阵就行了
F.n个节点二叉树的期望叶子个数
一棵二叉树的一个叶子可以表示成 \(T(n-1,pos)\) 表示一棵 \(n-1\) 个点的二叉树和这个叶子所在位置
考虑对 \(T\) 来计数
\(n-1\) 个点二叉树个数为 \(Catlan_{n-1}\)，可以放叶子的位置个数为 \(n\)
那么答案就是 \(\frac{C_{n-1}n}{C_n}=\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}\)
G.【UOJ#424】count
转化题意后我们要计数有多少大小为N的二叉树，满足从根节点走到任意一个节点向左走的次数不超过M
暴力的话考虑模拟先序遍历的过程并记录向左走了多少次，复杂度 \(O(NM)\)
记到每个点考虑 \(dp\) 的过程，
发现相当于我们有一个变量 \(x\)，每次可以选择把 \(x\) 变成 \([0,x+1]\) 的任意一个数，保证 \(x\le M\)
把 \(x\) 的变化过程看成一个序列 \(A\)，我们需要的就是计数这个序列的方案数
令 \(P_i=i-A_i\)，写出 \(P\) 的限制条件
- 1.\(-M\le P\le i\)
- 2.\(P_1=1,P_{n+1}=n+1\)
- 3.\(P_i\le P_{i+1}\)
发现这相当于在网格往右上行走，不能经过 \(y=x+1和y=x-M-1\) 的方案数
这个可以用折线法来做
具体的，每经过一次某条线就把终点对于这条线翻转并乘上 \(-1\) 的系数
H.CF603E
题目描述：有n个点，依次加入m条边权为 \(l_i\) 的无向边，每次加入后询问：当前图是否存在一个生成子图，满足所有点的度数都是奇数。
如果有，输出这个生成子图中边权最大的边的权值最小可能是多少
发现当且仅当所有联通块大小都为偶数时有解
证明：对于一个联通块，任选一棵生成树，非树边任选，通过树边来控制度数就行
然后发现显然的加边越多越容易合法
用 \(LCT\) 维护一下最小生成树，尽量删掉权值大的边就行